Hipersfēra

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Sfēras vispārinājumu n > 3 dimensijās sauc par hipersfēru, taču bieži vien to sauc arī vienkārši par sfēru. Tāpat kā trīs dimensijās, arī n dimensijās (jebkuram n ≥ 1) sfēra ir visu to punktu kopa, kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra. Šo attālumu sauc par sfēras rādiusu un parasti apzīmē ar r.

Hipersfēras vienādojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Dekarta koordinātu sistēmā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Dekarta koordinātu sistēmā sfēra ar centru (a1, a2, …, an) un rādiusu r > 0 sastāv no punktiem ar koordinātēm (x1, x2, …, xn), kas apmierina vienādojumu

\, \sum_{i=1}^n (x_i - a_i)^2 = r^2.

Hipersfēriskajā koordinātu sistēmā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Sfēriskās koordinātu sistēmas vispārinājums ir hipersfēriskā koordinātu sistēma. Tajā sfēru apraksta vienādojumi


\begin{align}
  x_1 = a_1 &+ r \cos \alpha_1, \\
  x_2 = a_2 &+ r \sin \alpha_1 \, \cos \alpha_2, \\
  x_3 = a_3 &+ r \sin \alpha_1 \, \sin \alpha_2 \, \cos \alpha_3, \\
  & {}\,\,\, \vdots \\
  x_{n-1} = a_{n-1}
    &+ r \sin \alpha_1 \, \sin \alpha_2 \, \sin \alpha_3 \, \cdots \, \sin \alpha_{n-2} \, \cos \alpha_{n-1}, \\
  x_n \,\,\,\,\,\, = a_n \,\,\,\,\,
    &+ r \sin \alpha_1 \, \sin \alpha_2 \, \sin \alpha_3 \, \cdots \, \sin \alpha_{n-2} \, \sin \alpha_{n-1},
\end{align}

kur parametri \alpha_i\, apmierina nevienādības


  0 \leq \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{n-2} \leq \pi un 
  0 \leq \alpha_{n-1} < 2 \pi.

Hipersfēras laukums un lodes tilpums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Virsmas laukuma elements[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Virsmas laukuma elements sfērai ar rādiusu r hipersfēriskajā koordinātu sistēmā n dimensijās ir


\begin{align}
  dS &= \begin{vmatrix}
          \frac{\partial x_1}{\partial r} & \frac{\partial x_1}{\partial \alpha_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial \alpha_{n-1}} \\[3pt]
          \frac{\partial x_2}{\partial r} & \frac{\partial x_2}{\partial \alpha_1} & \cdots & \frac{\partial x_2}{\partial \alpha_{n-1}} \\[3pt]
          \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[3pt]
          \frac{\partial x_n}{\partial r} & \frac{\partial x_n}{\partial \alpha_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial \alpha_{n-1}}
        \end{vmatrix} \, d\alpha_1 \, d\alpha_2 \, \cdots \, d\alpha_{n-1} \\
     &= r^{n-1} \left( \prod_{i=1}^{n-2} \sin^{n-1-i} \alpha_i \, d\alpha_i \right) d\alpha_{n-1} \\
     &= r^{n-1} \sin^{n-2} \alpha_1 \, \sin^{n-3} \alpha_2 \, \cdots \, \sin \alpha_{n-2} \,
       d\alpha_1 \, d\alpha_2 \, \cdots \, d\alpha_{n-1}.
\end{align}

Virsmas laukums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Virsmas laukumu sfērai n dimensijās var atrast ar integrāļa palīdzību:


  S = \underbrace{\int_{\alpha_1=0}^\pi \int_{\alpha_2=0}^\pi \cdots \int_{\alpha_{n-2}=0}^\pi}_{n-2} \int_{\alpha_{n-1}=0}^{2\pi} dS.

Integrējot iegūst


  S = \frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2})} \, r^{n-1}.

Daudz vienkāršāk šo formulu ir iegūt pa tiešo (bez virsmas laukuma elementa atrašanas).

Laukums un tilpums lodei n dimensijās
n S V
1  2 \,  2 r \,
2  2 \pi r \,  \pi r^2 \,
3  4 \pi r^2 \,  \frac{4}{3} \pi r^3 \,
4  2 \pi^2 r^3 \,  \frac{1}{2} \pi^2 r^4 \,
5  \frac{8}{3} \pi^2 r^4 \,  \frac{8}{15} \pi^2 r^5 \,
6  \pi^3 r^5 \,  \frac{1}{6} \pi^3 r^6 \,
7  \frac{16}{15} \pi^3 r^6 \,  \frac{16}{105} \pi^3 r^7 \,
8  \frac{1}{3} \pi^4 r^7 \,  \frac{1}{24} \pi^4 r^8 \,
9  \frac{32}{105} \pi^4 r^8 \,  \frac{32}{945} \pi^4 r^9 \,

Lodes tilpums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Tilpumu n-dimensionālai lodei ar rādiusu r atrod integrējot:


  V = \int_0^r S \, dr = \frac{r S}{n}.

Izmantojot Gamma funkcijas īpašību \tfrac{n}{2} \Gamma(\tfrac{n}{2}) = \Gamma(\tfrac{n}{2} + 1), iegūst


  V = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} \, r^n.

Izteiksmes bez Gamma funkcijas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Veseliem un pusveseliem argumentiem Gamma funkciju var izteikt attiecīgi ar faktoriāla un dubultfaktoriāla palīdzību. Tad laukuma S izteiksmi var pārrakstīt šādi:[2][3]


  S =
  \begin{cases}
    \dfrac{2\pi^\frac{n}{2}}{\bigl(\frac{n}{2}-1\bigr)!} \, r^{n-1} & n \mbox{ pāra}, \\[3ex]
    \dfrac{2^\frac{n+1}{2}\pi^\frac{n-1}{2}}{(n-2)!!}    \, r^{n-1} & n \mbox{ nepāra},
  \end{cases}

bet tilpuma V izteiksmi var pārrakstīt šādi:[2][4]


  V =
  \begin{cases}
    \dfrac{\pi^\frac{n}{2}}{\bigl(\frac{n}{2}\bigr)!} \, r^n & n \mbox{ pāra}, \\[3ex]
    \dfrac{2^\frac{n+1}{2} \pi^\frac{n-1}{2}}{n!!}    \, r^n & n \mbox{ nepāra}.
  \end{cases}

Hipersfēra un lode mazās dimensijās[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. nogrieznis, divi punkti
  2. riņķis, riņķa līnija
  3. lode, sfēra

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Coxeter, H.S.M. (1973), Regular polytopes (3 izd.), Dover Publications, ISBN 978-0-48-661480-9, §7.3. The general sphere, 125. lpp.
  2. 2,0 2,1 Skatīt Hyperkoule čehu Vikipēdijā.
  3. Eric W. Weisstein, Hypersphere, MathWorld.
  4. Skatīt Hiperkula poļu Vikipēdijā.

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]