Binomiālais sadalījums

Binomiālais sadalījums

Diskrētā blīvuma funkcija Binomiālā sadalījuma grafiks izskatās pēc diskrēta (lēcienveida) normālā sadalījuma
Sadalījuma funkcija Varbūtību sadalījuma funkcija F(x) izmainās diskrētās vērtībās, tā ir lēcienveidā
Apzīmējums	$B(n,p)$
Parametri	$n\in \{0,1,2,\ldots \}$ – mēģinājumu skaits $p\in [0,1]$ – labvēlīga notikuma varbūtība katrā mēģinājumā $q=1-p$
Definēts	$k\in \{0,1,\ldots ,n\}$ – labvēlīgo gadījumu skaits
Blīvuma funkcija	${\binom {n}{k}}p^{k}q^{n-k}$
Sadalījuma funkcija	$I_{q}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )$ (regularizēta nepilnīgā Bēta funkcija)
Vidējā vērtība	$np$
Mediāna	$\lfloor np\rfloor$ vai $\lceil np\rceil$
Moda	$\lfloor (n+1)p\rfloor$ vai $\lceil (n+1)p\rceil -1$
Dispersija	$npq=np(1-p)$
Asimetrijas koeficients	${\frac {q-p}{\sqrt {npq}}}$
Ekscesa koeficients	${\frac {1-6pq}{npq}}$
Momentu ģenerējošā funkcija	$(q+pe^{t})^{n}$
Raksturīgā funkcija	$(q+pe^{it})^{n}$
Varbūtību ģenerējošā funkcija	$G(z)=[q+pz]^{n}$
Fišera informācija	$g_{n}(p)={\frac {n}{pq}}$ (pie fiksēta $n$)

Binomiālais sadalījums varbūtību teorijā ir varbūtību sadalījums, kurš uzdod jā/nē jautājumus un skaita labvēlīgo gadījumu skaitu un nelabvēlīgo. Tas ir atkarīgs no parametriem p un n, kur p - labvēlīga iznākuma varbūtība; n - gadījumu skaits; kā arī lielums q - nelabvēlīgā iznākuma varbūtība (q = 1 - p). Vēl bez jā/nē iznākumu dabas, katram mēģinājumam jābūt neatkarīgam no iepriekšējiem mēģinājumiem un varbūtībām jābūt nemainīgām.

Bernulli formula

Ar Bernulli formulu iespējams noteikt varbūtību tam, ka labvēlīgs notikums notiks m reizes. Formulu pieraksta šādi:

$P_{n}(k)=C_{n}^{k}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}$, kur

$P_{n}(k)$ - varbūtība labvēlīgam iznākumam notikt $k$ reizes no visām $n$ reizēm; $C_{n}^{k}$ - kombinācijas, kā izvēlēties $k$ elementus no $n$; $p^{k}$ - labvēlīgā varbūtība celta veiksmīgo reižu pakāpē; $q^{n-k}$ - nelabvēlīgā varbūtība ($q=1-p$) celta neveiksmīgo reižu pakāpē.

Visu varbūtību summa būs 1: $\sum _{i=0}^{n}p_{i}=1$.

Piemērs

Varbūtība, ka diena būs apmākusies, ir 0,45. Kāda ir varbūtība, ka nedēļā būs 3 apmākušās dienas?

Izmantojot Bernulli formulu:

Animācija visu n = 4 situāciju kombinācijām: $C_{4}^{0}=1;C_{4}^{1}=4;C_{4}^{2}=6;C_{4}^{3}=4;C_{4}^{4}=1$

$P_{7}(3)=35\cdot 0,45^{3}\cdot 0,55^{4}=0,292...$

Īpašības

Binomiālā sadalījuma sagaidāmā vērtība ir $E[X]=np$. Šo iegūst, jo gadījuma lielums var ieņemt vērtības {0; 1}, atkarībā no tā, vai gadījums ir labvēlīgs vai nav. No sagaidāmās vērtības linearitātes īpašības un fakta, ka varbūtība p ir nemainīga: $E[X]=E[X1+...+Xn]=E[X1]+...+E[Xn]=p+...+p=np$

Binomiālā sadalījuma dispersija ir: $Var[X]=npq=np(1-p)$

Skatīt arī

• Kombinatorika
• Puasona sadalījums