Decimāldaļa

Daļas, kuru saucējā ir 10, 100, 1000 utt. un kuras pieraksta īpašā veidā bez saucēja, sauc par decimāldaļām. Ciparus pa labi no komata sauc par skaitļa decimālcipariem.^[1]

Piemēri:

${\frac {1}{10}}=0,1$ ${\frac {1}{100}}=0,01$ ${\frac {1}{1000}}=0,001$

${\frac {7}{10}}=0,7$ ${\frac {23}{100}}=0,23$ ${\frac {39}{1000}}=0,039$

Decimāldaļas jēdziens un īpašības

Decimāldaļas pieraksts un lasīšana

Desmitdaļas, simtdaļas, tūkstošdaļas utt. var pierakstīt, nerakstos saucēju, proti, aiz veselā skaitļa liek komatu un aiz komata raksta tikai skaitītāju, ievērojot, ka desmitdaļai ir pirmā vieta aiz komata, simtdaļai – otrā vieta aiz komata utt. Ja veselā nav, tad tā vietā raksta 0. Decimāldaļā aiz komata ir tik ciparu, cik nuļļu ir daļas saucējā.^[2]

Piemēri:
Raksta	Lasa
$2{\frac {7}{10}}=2,7$	divi veseli septiņas desmitdaļas vai divi komats septiņi
${\frac {13}{100}}=0,13$	nulle veselu trīspadsmit simtdaļas vai nulle komats trīspadsmit
$5{\frac {42}{1000}}=5,042$	pieci veseli četrdesmit divas tūkstošdaļas vai pieci komats nulle četrdesmit divi

Decimāldaļu paplašināšana un saīsināšana

Decimāldaļu lielums nemainās, ja tām beigās pieraksta vai atmet nulles. Atmetot beigu nulles, decimāldaļa tiek saīsināta, pierakstot nulles, - paplašināta.^[1]

Paplašināšana:

$4,51=4,510=4,5100=4,51000$

$1,2=1,20=1,200=1,2000$

$0,05=0,050=0,0500=0,05000$

Saīsināšana:

$0,7050=0,705$

$0,100=0,1$

$0,020=0,02$

Ja decimāldaļa izsaka naudas daudzumu, tad to parasti raksta ar diviem decimālcipariem (kaut arī šo daļu varētu saīsināt).^[1]

Piemēri:

Ls 1,40 (nevis 1,4)

Ls 3,00

Ls 2,20

Decimāldaļu salīdzināšana

Lai salīdzinātu decimāldaļas, vienādo decimālciparu skaitu (ciparu skaitu aiz komata) un salīdzina skaitļus, ko veido cipari, kas atrodas aiz komata.^[2]

Piemērs:

Salīdzināsim 5,345 un 5,36.

Šajā nolūkā abām daļām vienādosim decimālciparu skaitu, t.i., 5,36 labajā pusē pierakstīsim nulli: 5,360.

Tā kā 345<360, tad 5,345<5,360 jeb 5,345<5,36

Skaitļus salīdzinot, var spriest arī šādi:

No diviem skaitļiem lielāks ir tas, kam veselo skaits ir lielāks; ja veselo skaits ir vienāds, tad lielāks tas, kam vairāk desmitdaļu; ja arī desmitdaļu skaits ir vienāds, tad lielāks tas, kam vairāk simtdaļu, utt.^[1]

Piemēri:

1,5897>0,5897

2,147>2,145

0,24<0,3

Galīgas un bezgalīgas decimāldaļas

Tādas decimāldaļas, kurās decimālciparu skaits ir ierobežots jeb galīgs, sauc par galīgām decimāldaļām.^[3]

Piemēri:

0,34

52,00376

0,412850067

Decimāldaļas, kurās decimālciparu skaits ir neierobežots jeb bezgalīgs, sauc par bezgalīgām decimāldaļām. Lai norādītu, ka skaitlī decimālciparu skaits ir bezgalīgs, mēdz uzrakstīt dažus pirmos no tiem, bet aiz tiem raksta daudzpunkti.^[3]

Piemēri:

1:6=0,166...

2:7=0,286...

5:9=0,555...

Periodiskas decimāldaļas

Tādu decimāldaļu, kurā kāds decimālcipars vai ciparu grupa noteiktā secībā bezgalīgi daudzas reizes atkārtojas, sauc par periodisku decimāldaļu. Ciparu vai ciparu grupu, kas atkārtojas, sauc par periodu, bet ciparu vai ciparu grupu starp komatu un periodu - par priekšperiodu. ^[3]

Periodiskās decimāldaļas pieņemts rakstīt divejādi:

raksta periodu vismaz divas reizes un tālāk liek daudzpunkti;
raksta periodu tikai vienreiz, bet ieslēdz to apaļajās iekavās.^[3]

Piemēri:

0,44...=0,(4)

5,23636...=5,2(36)

0,41666...=0,41(6)

Decimāldaļu pārveidojumi

Decimāldaļu noapaļošana

Lai noapaļotu decimāldaļas līdz norādītai šķirai, jāievēro šāds plāns:

Atmet visus ciparus pa labi aiz minētās šķiras;

Ja pirmais atmestais cipars ir 0,1,2,3,4, tad pēdējo atstājamo šķiru nemaina;

Ja pirmais atmestais cipars ir 5,6,7,8,9, tad atstājamai šķirai pieskaita 1.^[2]

Noapaļojot decimāldaļas, jāievēro šāda īpaša norāde: ja pēdējais no atstājamiem decimālcipariem ir 0, tad to atmest nedrīkst (kā to drīkstētu darīt, aplūkojot precīzas decimāldaļas). Šajā gadījumā decimāldaļas pierakstā pēdējais cipars 0 norāda šķiru, līdz kurai dotais skaitlis ir noapaļots.^[2]

Piemēri:

31,967 ≈ 31,97 – noapaļots līdz simtdaļām;

15,6782 ≈ 15,678 – noapaļots līdz tūkstošdaļām;

0,653 ≈ 0,7 – noapaļots līdz desmitdaļām;

12,32 ≈ 12 – noapaļots līdz vieniem;

31,967 ≈ 32,0 – noapaļots līdz desmitdaļām;

3,027 ≈ 3,0 – noapaļots līdz desmitdaļām;

0,796 ≈ 0,80 – noapaļots līdz simtdaļām;

13,5203 ≈ 13,520 – noapaļots līdz tūkstošdaļām.

Decimāldaļu pārveidošana parastajās daļās un otrādi

Lai no decimāldaļas iegūtu parasto daļu, jāatceras, ka

Veselie paliek tie paši;
Cipari, kas ir aiz decimāldaļas komata, izņemot nulles tūlīt aiz komata, ir parastās daļas skaitītājs;
Saucējs ir šķiras vienība – vieninieks ar tik nullēm, cik ciparu aiz komata ir decimāldaļai.^[2]

Piemēri:

$1,1=1{\frac {1}{10}}$

$12,37=12{\frac {37}{100}}$

$3,0007=3{\frac {7}{10000}}$

Lai parasto daļu pārveidotu decimāldaļā, tā jāpārveido daļā ar saucēju 10, 100, 1000 utt. un pēc tam jāuzraksta kā decimāldaļa.^[1]

Piemēri:

${\frac {1}{2}}={\frac {50}{100}}=0,5$

${\frac {3}{4}}={\frac {75}{100}}=0,75$

${\frac {7}{125}}={\frac {56}{1000}}=0,056$

Ja saīsinātas parastās daļas saucējā ir kaut viens no 2 un 5 atšķirīgs pirmreizinātājs, tad tādu daļu nevar pārveidot daļā ar saucēju 10, 100, 1000 utt.. ^[3] Tādu daļu, kuru nevar pārveidot daļā ar saucēju 10, 100, 1000, utt. izsaka decimāldaļās aptuveni ar nepieciešamo precizitāti.^[1]

Piemēram:

${\frac {2}{11}}=2:11=0,18...\approx 0,2$

${\frac {2}{11}}=2:11=0,181...\approx 0,18$

${\frac {2}{11}}=2:11=0,1818\approx 0,182$

Darbības ar decimāldaļām

Saskaitīšana un atņemšana

Decimāldaļas rakstos saskaita vai atņem līdzīgi kā naturālos skaitļus, dotos skaitļus parakstot citu zem cita, tā, lai veselie būtu zem veselajiem, desmitdaļas zem desmitdaļām, simtdaļas zem simtdaļām utt. Citādi sakot, komatu zem komata. (Veselam skaitlim komatu var iedomāties beigās.) Saskaitīšanu vai atņemšanu iesāk ar zemākajām šķirām.^[3]

Piemēri:

   2 5 , 1 2
+    0 , 0 7
————————————
   2 5 , 1 9

   5 2 , 7 8
-  1 4 , 2 3
————————————
   3 8 , 5 5

  ¹
  2,7
+ 5,9
 ————
  8,6

Reizināšana un dalīšana ar naturālu skaitli

Lai sareizinātu decimāldaļu ar naturālu skaitli, jāievēro:

decimāldaļu reizina ar skaitli, neievērojot komatu (kā naturālos skaitļus);
iegūtajā rezultātā atdala ar komatu no labās puses tik decimālciparu, cik bija decimāldaļai.^[2]

Piemēri:

$0,8*3=2,4$ (Naturālu skaitļu 8 un 3 reizinājums ir 24, viens cipars aiz komata, jo tik bija decimāldaļai)

$2,7*4=10,8$

$0,3*3=0,9$

$0,07*32=2,14$

Decimāldaļu ar veselu skaitli dala tāpat kā ar veselu skaitli - vispirms izdala veselo skaitli, liek komatu dalījumā, pēc tam dala desmitdaļas, simtdaļas, tūkstošdaļas utt.^[1]

Piemērs:

43,68 : 6 = 7,28
42
—————
 1 6
 1 2
——————
   4 8
   4 8
———————
     0

Reizināšana un dalīšana ar 10, 100, 1000 utt.

Reizinot decimāldaļu ar 10, 100, 1000 utt., decimāldaļa kļūst lielāka un komats ir jāpārceļ pa labi tik vienību, cik nuļļu ir reizinātājā.

Ja pārceļot komatu pa labi, dotajā skaitlī ciparu pietrūkst, tad to vietā pieraksta nulles.^[2]

Piemēri:

$23,456*100=2345,6$

$23,45*1000=23450$

$23,4*10000=234000$

Dalot decimāldaļu ar 10, 100, 1000 utt., decimāldaļa kļūst mazāka un komats ir jāpārceļ pa kreisi tik vienību, cik nuļļu ir reizinātājā.^[2]

Piemēri:

$234,56:100=2,3456$

$23,45:1000=0,02345$

$86:1000=0,086$

Decimāldaļas reizināšana un dalīšana ar decimāldaļu

Decimāldaļas reizina kā veselus skaitļus, neievērojot komatu, pēc tam reizinājumā atdalot ar komatu tik decimālciparu, cik tos ir abos reizinātājos kopā.^[4]

Piemēri:

$0,2*0,3=0,06$ (naturālo skaitļu divi un trīs reizinājums ir seši, un divi cipari aiz komata, jo abiem reizinātājiem kopā ir divi cipari aiz komata)

$1,2*0,003=0,0036$

Skaitli dalot ar decimāldaļu, dalītājā komatu atmet, bet dalāmajā to pārvieto par tik cipariem pa labi, cik decimālciparu bija dalītāja. Pēc tam dala kā ar veselu skaitli.^[4]

Piemēri:

$2,76:1,2=27,6:12=2,3$

$521,6:0,01=52160:1=52160$

Kāpināšana

Tieši tāpat, izmantojot likumus par reizināšanu, kāpina decimāldaļas.^[5]

Piemēri:

$0,4^{2}=0,4*0,4=0,16$ (rezultātā divi cipari aiz komata, jo divi cipari aiz komata ir abos reizinātājos kopā)

$0,2^{3}=0,2*0,2*0,2=0,008$ (rezultātā trīs cipari aiz komata, jo trīs cipari aiz komata ir visos reizinātājos kopā)

$(-0,4)^{2}=(-0,4)*(-0,4)=+0,16$

$(-0,2)^{3}=(-0,2)*(-0,2)*(-0,2)=-0,008$

$-0,4^{2}=-0,16$

$1,2^{2}=1,2*1,2=1,44$

Atsauces

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 J.Mencis (sen.), J.Mencis (jun.). Matemātika 5.klasei. Rīga : Zvaigzne ABC, 2008. ISBN 978-9984-40-138-6.
↑ ^2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 ^2,7 I.Lude, J.Lapiņa. Matemātika 5.klasei. Rīga : Izdevniecība "Pētergailis", 2011. ISBN 978-9984-33-318-2.
↑ ^3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 J.Mencis, A.Sika. Matemātikas rokasgrāmata skolēniem. Rīga : Izdevniecība "Zvaigzne", 1990. ISBN 5-405-00071-X.
↑ ^4,0 ^4,1 J.Mencis (sen.), J.Mencis (jun.). Matemātika 6.klasei. Rīga : Zvaigzne ABC, 2009. ISBN 978-9984-40-776-0.
↑ I.Lude, J.Lapiņa. Matemātika 6.klasei. Rīga : Izdevniecība "Pētergailis", 2012. ISBN 978-9984-33-339-7.

[:0-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 ^1,5 ^1,6 J.Mencis (sen.), J.Mencis (jun.). Matemātika 5.klasei. Rīga : Zvaigzne ABC, 2008. ISBN 978-9984-40-138-6.

[:1-2] 2,0 ^2,1 ^2,2 ^2,3 ^2,4 ^2,5 ^2,6 ^2,7 I.Lude, J.Lapiņa. Matemātika 5.klasei. Rīga : Izdevniecība "Pētergailis", 2011. ISBN 978-9984-33-318-2.

[:2-3] 3,0 ^3,1 ^3,2 ^3,3 ^3,4 ^3,5 J.Mencis, A.Sika. Matemātikas rokasgrāmata skolēniem. Rīga : Izdevniecība "Zvaigzne", 1990. ISBN 5-405-00071-X.

[:3-4] 4,0 ^4,1 J.Mencis (sen.), J.Mencis (jun.). Matemātika 6.klasei. Rīga : Zvaigzne ABC, 2009. ISBN 978-9984-40-776-0.

[5] I.Lude, J.Lapiņa. Matemātika 6.klasei. Rīga : Izdevniecība "Pētergailis", 2012. ISBN 978-9984-33-339-7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]