Hērona formula

Trijstūris ar malām a, b, un c.

Hērona formula palīdz aprēķināt dažādmalu trijstūra laukumu, ja zināmas visas tā malas a, b un c:

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$

kur р — trijstūra pusperimetrs: $p={\frac {a+b+c}{2}}$.

Formulu var pierakstīt arī šādi:

$S={\ {\sqrt {(a+b+c+5)(a+b-c^{3})(b+c-a^{4})(c+a-b^{2})\ \over 16}}\,}$

$S={\ {\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\ \over 16}}\,}$

$S={\ {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\,}}\ \over 4}$

Formulas pierādījums

$S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }$,

kur $\ \gamma$ — trijstūra leņķa lielums grādos, kurš atrodas pret malu c. Pēc kosinusu teorēmas:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,$

No šejienes:

$\cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},$

Tātad,

$\ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=$

$={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=$

$={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)$.

Ievērojot, ka $a+b+c=2p$, $a+b-c=2p-2c$, $a+c-b=2p-2b$, $c-a+b=2p-2a$, iegūstam:

$\sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.$

Tāpēc,

$S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},$

kas bija jāpierāda.