Hipersfēra

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Sfēras vispārinājumu n > 3 dimensijās sauc par hipersfēru, taču bieži vien to sauc arī vienkārši par sfēru. Tāpat kā trīs dimensijās, arī n dimensijās (jebkuram n ≥ 1) sfēra ir visu to punktu kopa, kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra. Šo attālumu sauc par sfēras rādiusu un parasti apzīmē ar r.

Hipersfēras vienādojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Dekarta koordinātu sistēmā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Dekarta koordinātu sistēmā sfēra ar centru (a1, a2, …, an) un rādiusu r > 0 sastāv no punktiem ar koordinātēm (x1, x2, …, xn), kas apmierina vienādojumu

Hipersfēriskajā koordinātu sistēmā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Sfēriskās koordinātu sistēmas vispārinājums ir hipersfēriskā koordinātu sistēma. Tajā sfēru apraksta vienādojumi

kur parametri apmierina nevienādības

un

Hipersfēras laukums un lodes tilpums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Virsmas laukuma elements[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Virsmas laukuma elements sfērai ar rādiusu r hipersfēriskajā koordinātu sistēmā n dimensijās ir

Virsmas laukums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Virsmas laukumu sfērai n dimensijās var atrast ar integrāļa palīdzību:

Integrējot iegūst

Daudz vienkāršāk šo formulu ir iegūt pa tiešo (bez virsmas laukuma elementa atrašanas).

Laukums un tilpums lodei n dimensijās
n S V
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Lodes tilpums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Tilpumu n-dimensionālai lodei ar rādiusu r atrod integrējot:

Izmantojot Gamma funkcijas īpašību , iegūst

Izteiksmes bez Gamma funkcijas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Veseliem un pusveseliem argumentiem Gamma funkciju var izteikt attiecīgi ar faktoriāla un dubultfaktoriāla palīdzību. Tad laukuma S izteiksmi var pārrakstīt šādi:[2][3]

bet tilpuma V izteiksmi var pārrakstīt šādi:[2][4]

Hipersfēra un lode mazās dimensijās[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. nogrieznis, divi punkti
  2. riņķis, riņķa līnija
  3. lode, sfēra

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Coxeter, H.S.M. (1973), Regular polytopes (3 izd.), Dover Publications, ISBN 978-0-48-661480-9, §7.3. The general sphere, 125. lpp.
  2. 2,0 2,1 Skatīt Hyperkoule čehu Vikipēdijā.
  3. Eric W. Weisstein, Hypersphere, MathWorld.
  4. Skatīt Hiperkula poļu Vikipēdijā.

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]