Sfēras vispārinājumu n > 3 dimensijās sauc par hipersfēru , taču bieži vien to sauc arī vienkārši par sfēru . Tāpat kā trīs dimensijās, arī n dimensijās (jebkuram n ≥ 1) sfēra ir visu to punktu kopa , kas atrodas vienā un tajā pašā attālumā no sfēras centra. Šo attālumu sauc par sfēras rādiusu un parasti apzīmē ar r .
Dekarta koordinātu sistēmā sfēra ar centru (a 1 , a 2 , …, a n r > 0 sastāv no punktiem ar koordinātēm (x 1 , x 2 , …, x n
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
a
i
)
2
=
r
2
.
{\displaystyle \,\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-a_{i})^{2}=r^{2}.}
Sfēriskās koordinātu sistēmas vispārinājums ir hipersfēriskā koordinātu sistēma. Tajā sfēru apraksta vienādojumi
x
1
=
a
1
+
r
cos
α
1
,
x
2
=
a
2
+
r
sin
α
1
cos
α
2
,
x
3
=
a
3
+
r
sin
α
1
sin
α
2
cos
α
3
,
⋮
x
n
−
1
=
a
n
−
1
+
r
sin
α
1
sin
α
2
sin
α
3
⋯
sin
α
n
−
2
cos
α
n
−
1
,
x
n
=
a
n
+
r
sin
α
1
sin
α
2
sin
α
3
⋯
sin
α
n
−
2
sin
α
n
−
1
,
{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}=a_{1}&+r\cos \alpha _{1},\\x_{2}=a_{2}&+r\sin \alpha _{1}\,\cos \alpha _{2},\\x_{3}=a_{3}&+r\sin \alpha _{1}\,\sin \alpha _{2}\,\cos \alpha _{3},\\&{}\,\,\,\vdots \\x_{n-1}=a_{n-1}&+r\sin \alpha _{1}\,\sin \alpha _{2}\,\sin \alpha _{3}\,\cdots \,\sin \alpha _{n-2}\,\cos \alpha _{n-1},\\x_{n}\,\,\,\,\,\,=a_{n}\,\,\,\,\,&+r\sin \alpha _{1}\,\sin \alpha _{2}\,\sin \alpha _{3}\,\cdots \,\sin \alpha _{n-2}\,\sin \alpha _{n-1},\end{aligned}}}
kur parametri
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}\,}
0
≤
α
1
,
α
2
,
…
,
α
n
−
2
≤
π
{\displaystyle 0\leq \alpha _{1},\alpha _{2},\dots ,\alpha _{n-2}\leq \pi }
0
≤
α
n
−
1
<
2
π
.
{\displaystyle 0\leq \alpha _{n-1}<2\pi .}
Virsmas laukuma elements sfērai ar rādiusu r hipersfēriskajā koordinātu sistēmā n dimensijās ir
d
S
=
|
∂
x
1
∂
r
∂
x
1
∂
α
1
⋯
∂
x
1
∂
α
n
−
1
∂
x
2
∂
r
∂
x
2
∂
α
1
⋯
∂
x
2
∂
α
n
−
1
⋮
⋮
⋱
⋮
∂
x
n
∂
r
∂
x
n
∂
α
1
⋯
∂
x
n
∂
α
n
−
1
|
d
α
1
d
α
2
⋯
d
α
n
−
1
=
r
n
−
1
(
∏
i
=
1
n
−
2
sin
n
−
1
−
i
α
i
d
α
i
)
d
α
n
−
1
=
r
n
−
1
sin
n
−
2
α
1
sin
n
−
3
α
2
⋯
sin
α
n
−
2
d
α
1
d
α
2
⋯
d
α
n
−
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}dS&={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial r}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial \alpha _{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}}{\partial \alpha _{n-1}}}\\[3pt]{\frac {\partial x_{2}}{\partial r}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial \alpha _{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{2}}{\partial \alpha _{n-1}}}\\[3pt]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[3pt]{\frac {\partial x_{n}}{\partial r}}&{\frac {\partial x_{n}}{\partial \alpha _{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{n}}{\partial \alpha _{n-1}}}\end{vmatrix}}\,d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\,\cdots \,d\alpha _{n-1}\\&=r^{n-1}\left(\prod _{i=1}^{n-2}\sin ^{n-1-i}\alpha _{i}\,d\alpha _{i}\right)d\alpha _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}\alpha _{1}\,\sin ^{n-3}\alpha _{2}\,\cdots \,\sin \alpha _{n-2}\,d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\,\cdots \,d\alpha _{n-1}.\end{aligned}}}
Virsmas laukumu sfērai n dimensijās var atrast ar integrāļa palīdzību:
S
=
∫
α
1
=
0
π
∫
α
2
=
0
π
⋯
∫
α
n
−
2
=
0
π
⏟
n
−
2
∫
α
n
−
1
=
0
2
π
d
S
.
{\displaystyle S=\underbrace {\int _{\alpha _{1}=0}^{\pi }\int _{\alpha _{2}=0}^{\pi }\cdots \int _{\alpha _{n-2}=0}^{\pi }} _{n-2}\int _{\alpha _{n-1}=0}^{2\pi }dS.}
Integrējot iegūst
S
=
2
π
n
/
2
Γ
(
n
2
)
r
n
−
1
.
{\displaystyle S={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\,r^{n-1}.}
Daudz vienkāršāk šo formulu ir iegūt pa tiešo (bez virsmas laukuma elementa atrašanas).
Ieviesīsim funkciju
f
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
e
−
(
x
1
2
+
⋯
+
x
n
2
)
{\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})}}
un ar A apzīmēsim vērtību integrālim, ko iegūst integrējot f no -∞ līdz +∞ visās n dimensijās:
A
=
∫
−
∞
+
∞
⋯
∫
−
∞
+
∞
⏟
n
e
−
(
x
1
2
+
⋯
+
x
n
2
)
d
x
1
⋯
d
x
n
=
(
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
d
x
)
n
.
{\displaystyle A=\underbrace {\int _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int _{-\infty }^{+\infty }} _{n}e^{-(x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})}dx_{1}\cdots dx_{n}=\left(\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx\right)^{n}.}
Funkcijas f vērtība ir atkarīga tikai no vektora (x 1 , x 2 , …, x n r , tāpēc tā ir konstanta uz jebkuras sfēras, kas novietota koordinātu sākumpunktā. Ja sfēras rādiuss ir r , tad funkcija f pieņem vērtību exp(−r 2 ) uz tās virsmas. Ievērosim, ka n dimensijās sfērai ar rādiusu r virsmas laukums S ir proporcionāls vienības sfēras laukumam s jeb S = sr n −1dV = sr n −1dr . Tas nozīmē, ka lielumu A var aprēķināt arī šādi:
A
=
∫
0
∞
e
−
r
2
s
r
n
−
1
d
r
.
{\displaystyle A=\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}sr^{n-1}dr.}
Izteiksim šos integrāļus izmantojot Gamma funkciju . Gamma funkciju no z > 0 definē ar integrāļa palīdzību:
Γ
(
z
)
=
∫
0
∞
t
z
−
1
e
−
t
d
t
=
2
∫
0
∞
r
2
z
−
1
e
−
r
2
d
r
,
{\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt=2\int _{0}^{\infty }r^{2z-1}e^{-r^{2}}dr,}
kur otrā izteiksme ir iegūta ar substitūciju t = r 2 . Ievērosim, ka
Γ
(
1
2
)
=
2
∫
0
∞
e
−
r
2
d
r
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
d
x
.
{\displaystyle \Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}=2\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}dr=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx.}
Tātad pirmajā gadījumā lielumu A var izteikt pavisam vienkāršā veidā:
A
=
(
Γ
(
1
2
)
)
n
=
(
π
)
n
.
{\displaystyle A={\bigl (}\Gamma {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}{\bigr )}^{n}={\bigl (}{\sqrt {\pi }}{\bigr )}^{n}.}
Otrajā gadījumā lielumu A var izteikt šādi:
A
=
s
2
Γ
(
n
2
)
.
{\displaystyle A={\frac {s}{2}}\,\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}.}
Pielīdzinot abas izteiksmes atrodam vienības sfēras laukumu s :
s
=
2
π
n
/
2
Γ
(
n
2
)
.
{\displaystyle s={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\tfrac {n}{2}}{\bigr )}}}.}
Tātad laukums sfērai ar rādiusu r ir
S
=
2
π
n
/
2
Γ
(
n
2
)
r
n
−
1
.
{\displaystyle S={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma {\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}}}\,r^{n-1}.}
Laukums un tilpums lodei n dimensijās
n S V
1
2
{\displaystyle 2\,}
2
r
{\displaystyle 2r\,}
2
2
π
r
{\displaystyle 2\pi r\,}
π
r
2
{\displaystyle \pi r^{2}\,}
3
4
π
r
2
{\displaystyle 4\pi r^{2}\,}
4
3
π
r
3
{\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}\,}
4
2
π
2
r
3
{\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}\,}
1
2
π
2
r
4
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}\,}
5
8
3
π
2
r
4
{\displaystyle {\frac {8}{3}}\pi ^{2}r^{4}\,}
8
15
π
2
r
5
{\displaystyle {\frac {8}{15}}\pi ^{2}r^{5}\,}
6
π
3
r
5
{\displaystyle \pi ^{3}r^{5}\,}
1
6
π
3
r
6
{\displaystyle {\frac {1}{6}}\pi ^{3}r^{6}\,}
7
16
15
π
3
r
6
{\displaystyle {\frac {16}{15}}\pi ^{3}r^{6}\,}
16
105
π
3
r
7
{\displaystyle {\frac {16}{105}}\pi ^{3}r^{7}\,}
8
1
3
π
4
r
7
{\displaystyle {\frac {1}{3}}\pi ^{4}r^{7}\,}
1
24
π
4
r
8
{\displaystyle {\frac {1}{24}}\pi ^{4}r^{8}\,}
9
32
105
π
4
r
8
{\displaystyle {\frac {32}{105}}\pi ^{4}r^{8}\,}
32
945
π
4
r
9
{\displaystyle {\frac {32}{945}}\pi ^{4}r^{9}\,}
Tilpumu n -dimensionālai lodei ar rādiusu r atrod integrējot:
V
=
∫
0
r
S
d
r
=
r
S
n
.
{\displaystyle V=\int _{0}^{r}S\,dr={\frac {rS}{n}}.}
Izmantojot Gamma funkcijas īpašību
n
2
Γ
(
n
2
)
=
Γ
(
n
2
+
1
)
{\displaystyle {\tfrac {n}{2}}\Gamma ({\tfrac {n}{2}})=\Gamma ({\tfrac {n}{2}}+1)}
V
=
π
n
/
2
Γ
(
n
2
+
1
)
r
n
.
{\displaystyle V={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}}\,r^{n}.}
Veseliem un pusveseliem argumentiem Gamma funkciju var izteikt attiecīgi ar faktoriāla un dubultfaktoriāla palīdzību. Tad laukuma S izteiksmi var pārrakstīt šādi:[ 2] [ 3]
S
=
{
2
π
n
2
(
n
2
−
1
)
!
r
n
−
1
n
pāra
,
2
n
+
1
2
π
n
−
1
2
(
n
−
2
)
!
!
r
n
−
1
n
nepāra
,
{\displaystyle S={\begin{cases}{\dfrac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\bigl (}{\frac {n}{2}}-1{\bigr )}!}}\,r^{n-1}&n{\mbox{ pāra}},\\[3ex]{\dfrac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}}{(n-2)!!}}\,r^{n-1}&n{\mbox{ nepāra}},\end{cases}}}
bet tilpuma V izteiksmi var pārrakstīt šādi:[ 2] [ 4]
V
=
{
π
n
2
(
n
2
)
!
r
n
n
pāra
,
2
n
+
1
2
π
n
−
1
2
n
!
!
r
n
n
nepāra
.
{\displaystyle V={\begin{cases}{\dfrac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}!}}\,r^{n}&n{\mbox{ pāra}},\\[3ex]{\dfrac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}\,r^{n}&n{\mbox{ nepāra}}.\end{cases}}}
nogrieznis, divi punkti
riņķis, riņķa līnija
lode, sfēra
↑ Coxeter, H.S.M. (1973), Regular polytopes (3 izd.), Dover Publications, ISBN 978-0-48-661480-9 , §7.3. The general sphere, 125. lpp. ↑ 2,0 2,1 Skatīt Hyperkoule čehu Vikipēdijā.
↑ Eric W. Weisstein, Hypersphere , MathWorld.
↑ Skatīt Hiperkula poļu Vikipēdijā.
![{\displaystyle {\begin{aligned}dS&={\begin{vmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial r}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial \alpha _{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}}{\partial \alpha _{n-1}}}\\[3pt]{\frac {\partial x_{2}}{\partial r}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial \alpha _{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{2}}{\partial \alpha _{n-1}}}\\[3pt]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[3pt]{\frac {\partial x_{n}}{\partial r}}&{\frac {\partial x_{n}}{\partial \alpha _{1}}}&\cdots &{\frac {\partial x_{n}}{\partial \alpha _{n-1}}}\end{vmatrix}}\,d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\,\cdots \,d\alpha _{n-1}\\&=r^{n-1}\left(\prod _{i=1}^{n-2}\sin ^{n-1-i}\alpha _{i}\,d\alpha _{i}\right)d\alpha _{n-1}\\&=r^{n-1}\sin ^{n-2}\alpha _{1}\,\sin ^{n-3}\alpha _{2}\,\cdots \,\sin \alpha _{n-2}\,d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\,\cdots \,d\alpha _{n-1}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206cd6bb11f76af5f5d33fd264b2c3f460426392)
![{\displaystyle S={\begin{cases}{\dfrac {2\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\bigl (}{\frac {n}{2}}-1{\bigr )}!}}\,r^{n-1}&n{\mbox{ pāra}},\\[3ex]{\dfrac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}}{(n-2)!!}}\,r^{n-1}&n{\mbox{ nepāra}},\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/071eb0cd4ea88a384bc065f44c60b2a19a30901c)
![{\displaystyle V={\begin{cases}{\dfrac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{{\bigl (}{\frac {n}{2}}{\bigr )}!}}\,r^{n}&n{\mbox{ pāra}},\\[3ex]{\dfrac {2^{\frac {n+1}{2}}\pi ^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}\,r^{n}&n{\mbox{ nepāra}}.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/380ebf09afa2fca1b40acbd38905fc4fab622c77)