Homogēns diferenciālvienādojums

Vikipēdijas lapa
Jump to navigation Jump to search

Diferenciālvienādojums var būt homogēns kādā no diviem gadījumiem: 1) diferenciālā formā dota pirmās pakāpes diferenciālvienādojuma saskaitāmo koeficienti ir homogēnas mainīgo funkcijas; 2) jebkuras kārtas lineāra diferenciālvienādojuma gadījumā nav konstanta saskaitāmā.

Pirmās pakāpes homogēns diferenciālvienādojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vienkāršs pirmās pakāpes diferenciālvienādojums formā:

ir homogēns, ja gan M(x, y), gan N(x, y) ir homogēnas funkcijas kopīgai pakāpei n.[1] Jeb, reizinot katru mainīgo ar  , mēs iegūstam

un

Tātad

Risināšanas metode[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Attiecībā   ,mēs varam ievietot   lai vienkāršotu šo attiecību par funkciju no viena mainīgā :

Ieviešam jaunu mainīgo ; to diferencējam, izmantojot reizināšanas likumu:

Tādējādi pārveidojot doto diferenciālvienādojumu par diferenciālvienādojumu ar atdalāmiem mainīgajiem:

Šādā formā diferenciālvienādojums var tikt tieši integrēts un tādējādi atrisināts.

Šī piemēra vienādības nevajag izmantot kā formulas atrisinājuma iegūšanai, tās ir šeit pieminētas tikai atrisinājuma gaitas demonstrēšanai.

Speciālgadījums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pirmās pakāpes diferenciālvienādojums formā (a, b, c, e, f, g ir konstantes)

,
kur afbe, var tikt pārveidots par homogēnu, izmantojot lineāru mainīgo transformāciju abiem mainīgajiem ( un ir konstantes):

Lineāri homogēni diferenciālvienādojumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Definīcija. Lineāru diferenciālvienādojumu sauc par homogēnu, ja izpildās sekojošs nosacījums: ja   ir atrisinājums, tad arī ir atrisinājums, kur - nenulles konstante. Jāpievērš uzmanība tam, ka, lai izpildītos šis nosacījums, lineārā atkarīgā mainīgā y diferenciālvienādojumā katram saskaitāmajam jāsatur vai nu y, vai y atvasinājums. Lineārs diferenciālvienādojums, kuram šis nosacījums neizpildās, tiek saukts par nehomogēnu.

Lineārs diferenciālvienādojums var būt pasniegts kā lineārs operators, kurš balstās uz y(x), kur parasti x ir neatkarīgais mainīgais un y - atkarīgais. Tātad vispārīgā veidā lineārs homogēns diferenciālvienādojums ir:

kur L ir diferenciāloperators, atvasinājumu summa (definējot "0. atvasinājumu" kā sākotnējo, neatvasināto funkciju), katru reizinot ar funkciju    no x:

kur    var būt konstantes, taču visi    vienlaicīgi nevar būt nulles.

Piemēram, šis diferenciālvienādojums ir homogēns:

Taču šie divi ir nehomogēni:

Jāpiemin, ka konstanta saskaitāmā eksistence ir pietiekamais nosacījums, lai vienādība būtu nehomogēna, kā tas parādīts pēdējā piemērā.

Piezīmes[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Ince 1956, 18. lpp

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012), Elementary differential equations and boundary value problems (10th izd.), Wiley, ISBN 978-0470458310. (This is a good introductory reference on differential equations.)
  • Ince, E. L. (1956), Ordinary differential equations, New York: Dover Publications, ISBN 0486603490. (This is a classic reference on ODEs, first published in 1926.)

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]