Kombinācija

Ilustrācija kā var redzēt matemātisko kombināciju pierakstu ģeometriski

Kombinācija kombinatorikā ir galīgas kopas apakškopa, kas var būt arī pati kopa. Elementi apakškopā drīkst atkārtoties (tomēr biežāk apskata gadījumu, kad elementi neatkārtojas), bet atšķirībā no variācijām to secībai nav nozīmes (kopas pieraksti ar atšķirīgu vienu un to pašu elementu novietojumu apraksta vienu un to pašu kopu).

Bieži runā arī par k-kombinācijām vai k-apakškopām — tās ir apakškopas ar $k$ elementiem.

Kombināciju skaits

Ja ir dota kopa ar $n$ elementiem, tad tās k-kombināciju (k-apakškopu) skaitu, sauktu par kombinācijām no n pa k, var aprēķināt pēc formulas:

${n \choose k}=C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$,

kur $n!$ ir $n$ faktoriāls un ${\tbinom {n}{k}}$ ir binomiālkoeficienti.

Pierādījums

Dota kopa ar $n$ elementiem. Cik veidos no šīs kopas var izvēlēties sakārtotas $k$ elementu virknes?

Apskatām divus variantus, kā nonākt līdz atbildei.

1)

Pēc kombināciju skaita definīcijas — no dotās kopas var izvēlēties $n \choose k$ dažādas (nesakārtotas) apakškopas.

Cik dažādos veidos var sakārtot $k$ elementus ($k$ elementu kopu)?

Par pirmo elementu varam izvēlēties vienu no $k$ elementiem, par otro — vienu no $k-1$, pat trešo — vienu no $k-2$ utt. Līdz par pēdējo — $k$ — elementu varam izvēlēties vienu palikušo elementu.

Pēc kombinatorikas reizināšanas likuma $k$ elementu sakārtoto virkņu skaits tātad ir: $k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot \ldots \cdot 1$.

Līdz ar to no sākotnēji dotās kopas var paņemt sakārtotas $k$ elementu virknes ${n \choose k}\cdot k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot \ldots \cdot 1$ veidos.

2)

Par pirmo elementu varam izvēlēties vienu no $n$ elementiem, par otro — vienu no $n-1$, pat trešo — vienu no $n-2$ utt. Līdz par pēdējo — $k$ — elementu varam izvēlēties vienu no palikušajiem $n-k+1$ elementiem.

Pēc kombinatorikas reizināšanas likuma sakārtoto virkņu skaitu tātad var aprēķināt šādi: $n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)$.

Abu atbilžu vērtībām ir jābūt vienādām: ${n \choose k}\cdot k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot \ldots \cdot 1=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)$

Tātad ${n \choose k}={\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k\cdot (k-1)\cdot (k-2)\cdot \ldots \cdot 1}}=$

$={\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!}}={\frac {n!}{(n-k)!}}\cdot {\frac {1}{k!}}$

Kombināciju skaits ar atkārtojošiem elementiem

Ilustrācija kombinācijām ar pieļaujamiem atkārtojumiem- to var interpetēt kā kombināciju no instrukcijām izvēlēties esošo konfekti vai doties tālāk

Ja ir dota kopa ar $n$ elementiem, no kuras jāizvēlas multikopa ar $k$ elementiem (elementi var atkārtoties), tad šīs kombinācijas var aprēķināt pēc formulas:

$\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={\frac {(k+n-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}={k+n-1 \choose k}={k+n-1 \choose n-1}$

Piemēram, ja eksistē piecu veidu konfektes ($n=5$) un tiek izvēlētas trīs ar pieļaujamu atkārtošanos ($k=3$). Šo uzdevumu var interpretēt ģeometriski/algoritmiski, ka iespējamie konfekšu veidi tiek novietoti virknē un tiek padotas instrukcijas vai nu izvēlēties esošo konfekti vai doties pie nākamās konfektes. Tiek sākts no pirmā konfekšu veida virknē. Kopumā pilnā instrukcija sastāv no $k$ izvēlēm un $n-1$ došanās pie nākamās izvēlēm. Līdz ar to uzdevums tiek pārfrāzēts kāds ir kombināciju skaits šīm instrukcijām. Tiek izvēlētas $k$ no visām instrukcijām būt par izvēles instrukcijām vai $n-1$ no visām instrukcijām būt par došanos tālāk instrukcijām, tādēļ $\left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={k+n-1 \choose k}={k+n-1 \choose n-1}$

Līdz ar to no pieciem konfekšu veidiem izvēlēties trīs ar atkārtošanos var $\left(\!\!{5 \choose 3}\!\!\right)={\frac {(3+5-1)!}{3!\cdot (5-1)!}}={\frac {7!}{3!\cdot 4!}}=35$ veidos.

Skatīt arī

• Permutācija
• Binomiālais koeficients