Lielo skaitļu likums

Lielo skaitļu likuma ilustrācija ar metamā kauliņa palīdzību — palielinoties metienu skaitam, uzmesto punktu vidējā vērtība tiecas uz 3,5

Lielo skaitļu likums ir teorēma varbūtību teorijā, kas apgalvo, ka vidējā vērtība no rezultātiem, kas iegūti no liela skaita nejaušiem novērojumiem, tiecas uz reālo vidējo vērtību. Formālāka definīcija apgalvo, ka neatkarīgu un vienādi sadalītu gadījuma lielumu izlases vidējā vērtība konverģēs uz populācijas vidējo vērtību jeb matemātisko cerību.

Lielo skaitļu likums garantē notikumu vidējās vērtības stabilitāti ilgā laika periodā. Piemēram, kazino var zaudēt naudu kādā konkrētā ruletes griezienā, tomēr kazino peļņa tieksies uz paredzamu vērtību pie liela griezienu skaita. Jāņem vērā, ka, atbilstoši nosaukumam, lielo skaitļu likums ir spēkā vienīgi, kad novērojumu skaits ir liels, nav likuma, kas apgalvotu, ka maza novērojumu skaita vidējā vērtība sakritīs ar reālo. Tāpat tas nenozīmē, ka vienas vērtības bieža parādīšanās uzreiz tiks balansēta ar citām vērtībām.

Par lielo skaitļu likuma piemēru var izmantot metamā kauliņa mešanu — ja mums ir vienāda varbūtība uzmest jebkuru no skaitļiem 1, 2, 3, 4, 5 vai 6, tad, veicot lielu daudzumu metienu, vidējais uzmestais punktu skaits tieksies uz 3,5, kas atbilst metiena matemātiskajai cerībai. Tāpat lielo skaitļu likumu var ilustrēt ar monētas mešanu — veicot lielu skaitu metienu, uzmesto ciparu proporcija pret visu metienu skaitu tuvosies ¹⁄₂, kas atbilst teorētiskajai varbūtībai, ka tiks uzmests cipars.

Lielais skaitļu likums tiek izmantots Montekarlo metodē, kas ir aproksimācijas metode, kur tiek izmantota gadījuma izlase, lai novērtētu skaitliskus rezultātus.

Ne vienmēr lielo skaitļu likums ir spēkā, piemēram, tas nedarbojas, ja gadījuma lielumi tiek ģenerēti ar Košī sadalījumu. Šī sadalījuma lielo astu dēļ tam neeksistē matemātiskā cerība, līdz ar to neeksistē vērtība, uz ko konverģētu izlases vidējā vērtība.

Formas

Eksistē divas lielo skaitļu likuma formas, ko sauc par vājo un stipro lielo skaitļu likumu. Abu formu definīcijas ir līdzīgas, tās atšķiras vienīgi ar konverģences veidu.

Ja X₁, X₂, ... ir neatkarīgi un vienādi sadalīti gadījuma lielumi ar matemātisko cerību E(X₁) = E(X₂) = ... = μ, abas likuma formas apgalvo, ka izlases vidējā vērtība

$${\overline {X}}_{n}={\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})$$

konverģē uz matemātisko cerību:

$${\overline {X}}_{n}\to \mu \quad {\textrm {kad}}\ n\to \infty .$$

Vājais lielo skaitļu likums

Vājais lielo skaitļu likums apgalvo, ka šī konverģence ir spēkā pēc varbūtības:

$${\overline {X}}_{n}\ {\overset {P}{\rightarrow }}\ \mu \qquad {\textrm {kad}}\ n\to \infty .$$

jeb jebkuram pozitīvam skaitlim ε izpildās

$$\lim _{n\to \infty }P\!\left(\,|{\overline {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.$$

Šo vienādojumu var interpretēt sekojoši — jebkurai nenulles starpībai (ε), lai cik tā maza būtu, pie pietiekami liela izlases lieluma būs ļoti liela varbūtība, ka novērojumu vidējā vērtība būs tuvu reālajai vidējai vērtībai (starpība būs mazāka par ε).

Stiprais lielo skaitļu likums

Stiprais lielo skaitļu likums apgalvo, ka šī konverģence ir spēkā gandrīz droši

$${\overline {X}}_{n}\ {\overset {\text{a.s.}}{\longrightarrow }}\ \mu \qquad {\textrm {kad}}\ n\to \infty .$$

jeb

$$P\!\left(\lim _{n\to \infty }{\overline {X}}_{n}=\mu \right)=1.$$

Tas tiek saukts par stipro likumu, jo gandrīz droša konverģence garantē arī konverģenci pēc varbūtības, līdz ar to gadījumos, kad ir spēkā stiprais likums, ir spēkā arī vājais. Tomēr ir zināmas situācijas, kad vājais likums ir spēkā, bet stiprais — nē.

Ārējās saites

• Encyclopedia of Mathematics ieraksts (angliski)