Naturālais logaritms

Naturālā logaritma funkcijas grafiks.

Naturālais logaritms ir logaritms, kura bāze ir skaitlis $\ e$$\ e$, $e=2,7182818...\,$$e=2,7182818...\,$. Naturālo logaritmu no skaitļa $\ x$$\ x$ apzīmē ar $\ \ln x$$\ \ln x$. Līdz ar to $\log _{e}x=\ln x\,$$\log _{e}x=\ln x\,$. Vienkārši runājot, $\ \ln x$$\ \ln x$ ir kāpinātājs, kurā kāpinot skaitli e, iegūtu skaitli x.
Ir pareizas šādas vienādības:

Visiem reāliem x

$\ln e^{x}=x.\,\!$$\ln e^{x}=x.\,\!$

un visiem pozitīviem x

$e^{\ln x}=x.\,$$e^{{\ln x}}=x.\,$

Definīcija, izmantojot integrāli

$\ \ln x$$\ \ln x$ var tikt definēts kā laukums zem funkcijas $y={\frac {1}{x}}$$y={\frac {1}{x}}$ grafika robežās no 1 līdz $a$$a$, tāpēc to var izteikt ar integrāli

$\ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$$\ln a=\int _{1}^{a}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Īpašības

• ln $x$$x$ ir definēts visiem x > 0
• ln $x$$x$ ir augoša funkcija
• $\ln(xy)=\ln x+\ln y\!\,$$\ln(xy)=\ln x+\ln y\!\,$
• Visiem $x>0$$x>0$ $\ln x\leq x-1$$\ln x\leq x-1$.
• $\ln 'x={\frac {1}{x}}$$\ln 'x={\frac {1}{x}}$

Robežas

• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,$$\lim _{{x\to 0}}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,$
• Ja $a>0$$a>0$, tad $\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x^{a}}}=0.\,$$\lim _{{x\to \infty }}{\frac {\ln x}{x^{a}}}=0.\,$

Izvirzījums rindā

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \quad {\rm {ja}}\quad \left|x\right|\leq 1\quad$$\ln(1+x)=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {(-1)^{{n+1}}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \quad {{\rm {ja}}}\quad \left|x\right|\leq 1\quad$

izņemot $x=-1$$x=-1$.

Logaritmiskā atvasināšana

Dažreiz naturālie logaritmi tiek izmantoti lai atvasinātu kādu funkciju. Piemēram, $(x^{x})'=(e^{x\ln x})'=e^{x\ln x}\cdot (x\ln x)'=x^{x}\cdot (1+\ln x)$$(x^{x})'=(e^{{x\ln x}})'=e^{{x\ln x}}\cdot (x\ln x)'=x^{x}\cdot (1+\ln x)$.

Skatīt arī

• Logaritms