Paraboloīds

Kartupeļu čipsi Pringles hiperboliskā paraboloīda formā

Paraboloīds ir ar parabolu saistīts otrās kārtas virsmas veids. Paraboloīds ir neierobežota necentrāla virsma (tai nav simetrijas centra).

Paraboloīda kanoniskais vienādojums Dekarta koordinātās:

$~z=ax^{2}+by^{2}$

• ja koeficienti a un b ir ar vienādām zīmēm, tad tādu paraboloīdu sauc par eliptisko paraboloīdu (speciālgadījumā, ja koeficienti ir vienādi, tādu virsmu sauc par rotācijas paraboloīdu);
• ja koeficienti ir ar dažādām zīmēm, paraboloīdu dēvē par hiperbolisko paraboloīdu;
• ja viens no koeficientiem vienāds ar 0, virsmu sauc par parabolisko cilindru.

Eliptiskais paraboloīds

Rotācijas paraboloīds

Eliptisko paraboloīdu apraksta vienādojums

$~2z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$,

kur a un b zīmēm jābūt vienādām. Virsmu var aprakstīt ar savstarpēji paralēlu parabolu kopu, kurām zari vērsti vienā virzienā un kuru virsotnes atrodas uz tai pašā virzienā vērstas parabolas. Ja koeficienti a un b ir vienādi, tad virsma pieder pie rotācijas virsmām un to var iegūt, griežot parabolu ap tās simetrijas asi. Eliptisko paraboloīdu viegli iztēloties kā saspiestu rotācijas paraboloīdu.

Hiperboliskais paraboloīds

Hiperboliskais paraboloīds

Hiperbolisko paraboloīdu jeb sedlveida virsmu apraksta ar vienādojumu

$2z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=\left({\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}\right)\left({\frac {x}{a}}-{\frac {y}{b}}\right)$.

Hiperboliskais paraboloīds veidojas, pārvietojot parabolu pa otru, pretējā virzienā vērstu, parabolu tā, ka pirmā parabola saskaras ar otru ar savu virsotni. To var iegūt arī, noteiktā veidā (precīzāk, divos veidos) pārvietojot telpā taisni. Caur katru sedlveida virsmas punktu var novilkt divas krustojošās taisnes, kuras pilnīgi pieder šai virsmai.

Hiperboliskais paraboloīds ir virsma ar negatīvu virsmas liekumu.

Izmantošana

Spogulis rotācijas paraboloīda formā fokusē staru kūli, kas paralēls tā galvenajai asij, vienā punktā (paraboloīda fokusā). Savukārt šajā fokusā novietots gaismas avots veido paralēlu staru kūli. Uz to pamatojas dažādu prožektoru, automobiļu lukturu, parabolisko antenu spoguļu, reflektora tipa teleskopu darbība.

Interesanti fakti

Alekseja Tolstoja fantastiskajā romānā "Inženiera Garina hiperboloīds" aprakstītajam hiperboloīdam, spriežot pēc tā īpašībām, īstenībā jābūt paraboloīdam.

Skatīt arī

• Elipsoīds
• Hiperboloīds
• Parabola

Literatūra

• E. Kronbergs, P. Rivža, Dz. Bože. Augstākā matemātika. 1. daļa. R:, Zvaigzne, 1988, 118.-119. lpp.