Trīsstūris

Taisnleņķa trijstūris

Platleņķa trijstūris

Trīsstūris jeb trijstūris ir plaknes daļa, kuru norobežo trīs taisnes, kuras krustojas katra ar katru. Tādējādi trīsstūris ir daudzstūris ar trīs malām.

Trijstūru iedalījums

Trijstūru iedalījums pēc leņķiem:

• šaurleņķa trijstūros — trijstūra visi leņķi ir šauri (mazāki par 90°);
• taisnleņķa trijstūros — viens no trijstūra leņķiem ir taisns (90°)
• platleņķa trijstūros — viens no leņķiem ir plats (lielāks par 90°).

Trijstūru iedalījums pēc malu garumiem:

• Vienādsānu trijstūris - divas trijstūra malas ir vienāda garuma;
• Regulārs trijstūris (vienādmalu trijstūris) - visas trijstūra malas ir vienāda garuma.

Īpašības

• Jebkuram trijstūrim visu iekšējo leņķu summa ir vienāda ar 180°;
• Jebkurš trijstūris ir izliekta figūra;
• Jebkuram trijstūrim var apvilkt un tajā var ievilkt riņķa līniju;
• Ap trīsstūri apvilktās riņķa līnijas centrs atrodas trīsstūra malu vidusperpendikulu krustpunktā;
• Trīsstūrī ievilktās riņķa līnijas centrs atrodas tā bisektrišu krustpunktā;
• Trīsstūra smaguma centrs atrodas tā mediānu krustpunktā.

Formulas

• $\ d^2 = R^2 - 2Rr$
• $m_c = {1 \over 2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}$
• $h = \frac{a}{2} \sqrt{3} = R+r$
• $R = \frac{a}{3} \sqrt{3}$
• $r = \frac{a}{6} \sqrt{3}$
• $P = 3 \cdot a$

kur d — attālums starp ievilktās un apvilktās riņķa līnijas centru, $m_c$ — mediānas garums, a — regulāra trijstūra malas garums, h — trijstūra augstums, R — apvilktas riņķa līnijas rādiuss, r — ievilktas riņķa līnijas rādiuss, P — trijstūra perimetrs, a, b un c — trijstūra malas.

Īpašie gadījumi

Vienādsānu trijstūris

Vienādmalu trijstūris

Laukums

• Taisnleņķa trīsstūra laukums ir vienāds ar tā katešu reizinājuma pusi.
• Trīsstūra laukums ir vienāds ar malas un pret šo malu novilktā augstuma reizinājuma pusi.
• Trīsstūra laukums ir vienāds ar divu tā malu un to veidotā leņķa sinusa reizinājuma pusi.
• Regulāra trijstūra laukumu aprēķina pēc formulas $S = \frac{a^2}{4} \sqrt{3}$, kur a — malas garums.
• Dažādmalu trīsstūra laukumu var aprēķināt pēc Hērona formulas:

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

vai arī pēc šādas formulas:

$S = \frac{1}{4} \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}$,

kur S — trīsstūra laukums, p — puse no perimetra, a, b un c — trīsstūra malas, kā arī pēc šīs formulas:

$S = {1 \over 4}\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}.$

• Trīsstūra laukums ir vienāds arī ar tā pusperimetra un ievilktās riņķa līnijas rādiusa reizinājumu: $S = p \cdot r.$
• $S = \frac {1}{2} [x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B)]$,

kur $(x_A,y_A) ; (x_B,y_B) ; (x_C,y_C)\,$ — trīsstūra virsotņu koordinātas. Šajā formulā jāievēro tas, ka, "ejot" pulksteņa rādītāja kustības virzienā, laukums iznāk negatīvs, bet vienalga ir pareizs, tas iznāks ar "-" zīmi.

Skatīt arī

• Četrstūris

Ārējās saites

• Trijstūris, liis.lv.