Kopu teorija

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Venna diagramma, kas attēlo divu kopu šķēlumu.

Kopu teorija ir matemātikas nozare, kas pēta kopas un to īpašības. Kaut gan kopas var sastāvēt no jebkādiem objektiem, kopu teorija parasti tiek lietota objektiem, kas ir saistīti ar matemātiku. Kopu teorijas valodu var izmantot gandrīz visu matemātisko objektu definīcijās.

Modernos kopu teorijas pētījumus aizsāka Georgs Kantors un Rihards Dēdekinds ap 1870. gadu. Pēc paradoksu atklāšanas naivajā kopu teorijā, 20. gs. sākumā tika piedāvātas daudzas aksiomu sistēmas, no kurām labi pazīstamas ir Cermelo-Frenkela aksiomas un izvēles aksioma.

Pamatjēdzieni[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kopa[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kopa ir matemātikas pamatjēdziens, to nevar definēt ar citu jēdzienu palīdzību. [1] Ar jēdzienu "kopa" matemātikā saprot vairākus priekšmetus vai objektus, kas apvienoti vienā veselā pēc kādas visiem tiem kopīgas pazīmes. Piemēram, Eiropas valstu kopa, pirmā kursa studentu kopa, visu naturālo skaitļu kopa.

Kopas elementi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Objekti, no kuriem veidotas kopas, var būt ne tikai materiāli priekšmeti, bet arī abstrakti jēdzieni, kā punkti, skaitļi, figūras u.t.t. Šos objektus, no kuriem viedojas kopa, sauc par kopas elementiem. Piemēram, naturālo skaitļu kopas elementi ir 1, 2, 3, 4, ...

Kopas un tās elementu apzīmējumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kopas parasti apzīmē ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem, bet kopu elementus - ar mazajiem burtiem. Attieksmi starp kopu un tās elementiem, ko izsaka ar vārdiem "būt elementam", "ietilpt kopā", apzīmē arī ar vārdu "piederēt".

Ja kāds objekts ir kopas elements, tad raksta un lasa " pieder pie kopas ", " ir kopas elements".

Ja objekts nav kopas elements, tad raksta jun lasa " nepieder pie kopas ", " nav kopas elements" [2]

Kopu uzdošana matemātikā[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kopu uzskata par uzdotu, ja ir norādīta kāda pazīme, pēc kuras par jebkuru objektu var pateikt, vai tas pieder pie kopas vai nepieder. Visbiežāk kopas uzdod divos veidos:

  1. sastāda pilnīgu un izsmeļošu kopas elementu sarakstu;
  2. norāda īpašību, kas piemīt visiem aplūkojamās kopas elementiem un kas nepiemīt nevienam citam objektam.[3]

Kopu pieraksts[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja kopu uzdod ar pirmo veidu, tās elementus sarakstu ieslēdz figūriekavās. Piemēram, ; pavasaris, vasara, rudens, ziema.

Ja kopu uzdod ar otro veidu, tad figūriekavā vispirms raksta kopas elementu vispārīgo apzīmējumu, novelk vertikālu svītru un aiz tās raksta elementu raksturīgo īpašību.

Piemēram, ir pirmskaitlis, ir bērzi, kuru augstums pārsniedz 20 metrus.

Tukša kopa[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kopu, kura nesatur nevienu elementu sauc par tukšu kopu. Piemēram, ir naturāls skaitlis, kurš mazāks par 1. Tukšu kopu apzīmē ar simbolu .

Galīgas kopas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kopu sauc par galīgu, ja var saskaitīt tās elementus, vai arī, ja var pierādīt, ka elementu skaits kopā nepārsniedz iepriekš dotu naturālu skaitli.

Kopu ir galīga, jo tajā ir trīs elementi.

Latvijas zaķu kopa. Protams, nevar precīzi pateikt, cik zaķu ir Latvijā, tomēr var droši apgalvot, ka zaķu skaits tajā nepārsniedz .

Tukša kopa ir galīga, jo elementu skaits tajā ir 0.

Bezgalīgas kopas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kopu, kurā elementu skaits ir lielāks nekā jebkurš iepriekš dots naturāls skaitlis , sauc par bezgalīgu.

Taisnes punktu kopa, naturālu skaitļu kopa . [4]

Eilera-Venna diagramma. Kopa iekļauj sevī visus kopas elementus.

Kopu grafiskā ilustrācija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Katru kopu var attēlot grafiski kā Eilera-Venna diagrammu, uzzīmējot slēgtu kontūru, pieņemot, ka dotās kopas elementus reprezentē iegūtās figūras punkti. Pašus punktus zīmējumā var arī neuzrādīt. Attēlā pa labi redzams, ka kopa ietilpst kopā , kaut arī šajā zīmējumā tieši neredzam kopas un elementus un nezinām, kādas ir kopas un . [2]

Apakškopas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kopu auc par kopas apakškopu, ja katrs kopas elements ir arī kopas elements.

, kopa ir kopas apakškopa, līdzvērtīgi , kopa aptver kopu . Attieksmes grafiskais attēlojums redzams zīmējumā.

Īstās un neīstās apakškopas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Matemātikā uzskata, ka tukša kopa ir katras kopas apakškopa. Kā arī pēc definīcijas kopa ir pati sev apakškopa. Pašu kopu un tukšo kopu sauc par kopas neīstām apakškopām.

Kopas jebkuru netukšu apakškopu, kas nav vienāda ar visu kopu , sauc par kopas īstu apakškopu.

Vienādas kopas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kopas sauc par vienādām, ja kopas un sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem. Kopas elementu secībai nav nozīmes.

Kopu vienādības pietiekamais un nepieciešamais nosacījums ir, ka kopas un ir vienādas tad un tikai tad, ja un arī .

Attieksmju "" un "" transitīvā īpašība[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Dažus spriedumus var vienkāršot izmantojot īpašības, ka

  • ja un , tad
  • ja un , tad

Darbības ar kopām[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ar kopām var veikt dažādas darbības, kuru rezultātā var iegūt jaunas kopas. Visu aplūkojamo objektu kopu sauc par universu jeb universālo kopu un apzīmē ar burtu .[5]

Kopu un šķēluma attēlojums ar Eilera-Venna diagrammu.

Kopu šķēlums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Par divu kopu un šķēlumu sauc kopu , kura satur tos un tikai tos elementus, kuri pieder gan kopai , gan kopai . [5]

un

Īpašības:

  1. Komutatīvā ;
  2. Asociatīvā ;
  3. ;
  4. ;
  5. Ja , tad .[1]
Kopu un apvienojuma attēlojums, izmantojot Eilera-Venna diagrammu.

Kopu apvienojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Par divu kopu un apvienojumu sauc kopu , kas satur tos un tikai tos elementus, kas pieder vismaz vienai no abām kopām.

vai

Kopu un starpības attēlojums, izmantojot Eilera-Venna diagrammu.

Īpašības:

  1. Komutatīvā ;
  2. Asociatīvā ;
  3. Distrubutīvā īpašība:
    • Šķelšanās operācijai attiecībā pret apvienojuma operāciju ;
    • Apvienojuma operācijai attiecībā pret šķelšanās operāciju ;
  4. ;
  5. Ja , tad [1]

Kopu starpība[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Par divu kopu un starpību sauc kopu , kur satur tos un tikai tos kopas elementus, kas nepieder kopai .

un

Kopas papildinājuma līdz kopai , ja kopa attēlojums, izmantojot Eilera-Venna diagrammu.

Īpašības:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. ;
  5. ;
  6. Ja , tad .[1]
Kopas papildkopas attēlojums ar Eilera-Venna diagrammu.

Kopas papildinājums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Par kopas papildinājumu līdz kopai sauc kopu , kas ir un starpība, ja kopa ir kopas apakškopa.

, ja

Par kopas papildkopu sauc universālkopas visu to elementu kopu, kas nepieder kopai .

Īpašības:

  1. ;
  2. ;
  3. ;
  4. .

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Baiba Bērztīse. Kopu teorijas elementi. Liepāja, 2001. ISBN 9984-654-57-5.
  2. 2,0 2,1 H. Graudone, U. Grinfelds, G. Malzubre, J. Mencis, K. Šteiners. Rokasgrāmata elementārajā matemātikā. Rīga : Zvaigzne, 1982. ISBN 154.81.1702010000 .
  3. M. Pelņa. Kopu teorijas pamatjēdzieni. Rīga : LU, 1992.
  4. Kārlis Dobelis. Kopu teorijas pamatjautājumi. Liepāja : LPA, 1998. ISBN 9984-562-89-1.
  5. 5,0 5,1 Pauls Glendinings. Matemātika īsumā. Jāņa Rozes apgāds, 2015. ISBN 978-9984-23-500-4.