Lagranža teorēma

Vikipēdijas lapa
Jump to navigation Jump to search

Lagranža teorēma apgalvo, ka ja funkcija ir nepārtrauktā nogriežņa intervālā un diferencējamā intervālā , tad eksistē punkts , ka

.

Mehāniski to var definēt kā lai - punkta attālums momentā no sākumpunkta. Tad f(b) – f(a) ir attālums no momenta līdz momentam . Attiecība – vidējais ātrums šajā intervālā. Tātad, ja ķermena ātrums noteikts jebkurā laika momentā , tad kaut kādā momentā tas būs vienāds ar savu vidējo vienību šajā intervālā.

Pierādījums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Funkcijai ar vienu mainīgo:

Ievadām funkciju . Priekš tās ir izpildīti Rolla teorēmas noteikumi: nogriežņa galapunktos vienības ir vienādas ar nulli.

Izmantojot doto teorēmu, iegūsim, ka eksistē punkts , kurā funkcijas atvasinājums ir vienāds ar nulli:

Galīgie un bezgalīgie mazie pieaugumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Galīgo pieaugumu var skaidrot ar to faktu, ka ja formulā , kreiso pusi apzīmējam kā , bet labajā pusē faktoru apzīmējam ar , tad mēs iegūsim formulu:

Un tā savukārt ir ļoti līdzīga ar diferenciāla definīciju.

Pielikums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Lagranža teorēma var būt pielietota, nosakot nenoteiktību priekš robežām.

Variācijas un apkopojums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lagranža teorēma par galīgo pieaugumu – viena no svarīgākajām, galvenā teorēma visā diferenciālajā sistēmā.

Pierādījums. Visiem un piemīt punkts , tāda kas .

Tātad pie visiem un būs patiesā vineādība kur .

Analoģiski pierādās arī monotonitātes kritērijs priekš diferenciālām funkcijām. Diferencējama funkcija pieaug/dilst nogrieznī tikai tad, kad tās atvasinājums uz tā nogriežņa nav ne negatīvs/ne pozitīvs.

  • No Teilora formulas ar atlikuma locekli, kad iegūstam Lagranža formulu par galīgo pieaugumu.
  • Ja funkcija ar mainīgiem divreiz deferencējama punkta o apgabalā, tad šajā punktā ir patiesa vienādība:

Pierādījums priekš . Piefiksēsim vienību un un aplūkosim dažveidīgus operātorus:

un

Pēc Lagrandža teorēmas eksistē skaitļi 0, tādi ka:

Pie nepārtrauktības spēkā otro funkciju atvasinājumu .

Analoģiski pierādās, ka .

Bet tā kā , tad tās robežas sakrīt.

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]