Lagranža teorēma apgalvo, ka, ja funkcija
ir nepārtraukta nogriežņa intervālā
un diferencējamā intervālā
, tad eksistē tāds punkts
, ka
.
Mehāniski to var definēt kā lai
- punkta attālums momentā
no sākumpunkta. Tad f(b) – f(a)
ir attālums no momenta
līdz momentam
. Attiecība
– vidējais ātrums šajā intervālā. Tātad, ja ķermena ātrums noteikts jebkurā laika momentā
, tad kaut kādā momentā tas būs vienāds ar savu vidējo vienību šajā intervālā.
Funkcijai ar vienu mainīgo:
Ievadām funkciju
. Priekš tās ir izpildīti Rolla teorēmas noteikumi: nogriežņa galapunktos vienības ir vienādas ar nulli.
Izmantojot doto teorēmu, iegūsim, ka eksistē punkts
, kurā funkcijas
atvasinājums ir vienāds ar nulli:
Galīgo pieaugumu var skaidrot ar to faktu, ka ja formulā
, kreiso pusi apzīmējam kā
, bet labajā pusē faktoru
apzīmējam ar
, tad mēs iegūsim formulu:
Un tā savukārt ir ļoti līdzīga ar diferenciāla definīciju.
- Lagranža teorēma var būt pielietota, nosakot nenoteiktību priekš robežām.
Lagranža teorēma par galīgo pieaugumu – viena no svarīgākajām, galvenā teorēma visā diferenciālajā sistēmā.
Pierādījums. Visiem
un
piemīt punkts
, tāda kas
.
Tātad pie visiem
un
būs patiesā vineādība kur
.
Analoģiski pierādās arī monotonitātes kritērijs priekš diferenciālām funkcijām. Diferencējama funkcija
pieaug/dilst nogrieznī
tikai tad, kad tās
atvasinājums uz tā nogriežņa nav ne negatīvs/ne pozitīvs.
- No Teilora formulas ar atlikuma locekli, kad
iegūstam Lagranža formulu par galīgo pieaugumu. 
- Ja funkcija ar
mainīgiem
divreiz deferencējama punkta o apgabalā, tad šajā punktā ir patiesa vienādība:
Pierādījums priekš
. Piefiksēsim vienību
un
un aplūkosim dažveidīgus operātorus:
un
Pēc Lagrandža teorēmas eksistē skaitļi 0
, tādi ka:
Pie
nepārtrauktības spēkā otro funkciju atvasinājumu
.
Analoģiski pierādās, ka
.
Bet tā kā
, tad tās robežas sakrīt.