Funkcija

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Funkcija ir viena mainīgā atkarība no otra mainīgā, ja katrai neatkarīgā mainīgā vērtībai atbilst ne vairāk kā viena atkarīgā mainīgā vērtība.

Funkcija ir definēta tad, ja norādīts piekārtojuma likums, pēc kura katrai argumenta vērtībai var atrast atbilstošo funkcijas vērtību. Piekārtojuma likumu var uzdot:

  • ar vārdiem;
  • ar tabulu;
  • ar formulu;
  • ar grafiku.

Ja funkcionālo sakarību (atbilstību) starp diviem mainīgajiem un pieraksta šādi , tad sauc par funkcijas formulu, par neatkarīgo mainīgo jeb argumentu, bet par atkarīgo mainīgo jeb funkciju.

Lasa: ir vienāds ar no . Pierakstā burts norāda likumu (kārtulu), pēc kura katrai argumenta vērtībai var noteikt atbilstošo vērtību.

Gan funkciju, gan argumentu var apzīmēt arī ar citiem burtiem, piemēram, , , . Dažkārt funkciju apzīmē ar to pašu burtu, ar kuru apzīmēts atkarīgais mainīgais, piemēram, , , .

Par funkcijas definīcijas apgabalu (pieļaujamo vērtību kopu) sauc visas tās neatkarīgā mainīgā vērtības, ar kurām izteiksmei ir jēga.

Definīcijas apgabalu apzīmē ar simbolu vai .

Saskaņā ar šo definīciju, funkcijas definīcijas apgabals sakrīt ar izteiksmes definīcijas apgabalu.

Par funkcijas vērtību apgabalu sauc visas atkarīgā mainīgā vērtības. Vērtību apgabalu apzīmē ar vai .

Lai uzzīmētu funkcijas grafiku, parasti sastāda vērtību tabulu, atbilstošos punktus (, ) atliek koordinātu plaknē un caur šiem punktiem novelk nepārtrauktu līniju (vai līnijas). Ja koordinātu plaknē atliek punktus, kuru abscisa (x ass) ir funkcijas arguments (x vērtība), bet ordināta (Y ass) - atbilstošā funkcijas vērtība, tad visi šie punkti veido funkcijas grafiku.

Funkcijas y=f(x) pētīšanas shēma[1][labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

1. solis[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Atrod funkcijas definīcijas apgabalu D(f), tas ir, tādu x kopu, kurā funkcijas f(x) ir noteikta;
  • Nosaka pārtraukuma punktus, un to veidus, aprēķinot vienpusējās robežas. Ja x=a ir funkcijas pārtraukuma punkts, tad jāaplūko vienpusīgās robežas šajā punktā:

un

2. solis - atrod funkcijas grafika asimptotas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Taisne x=a ir funkcijas vertikālā asimptota, ja punkts x=a ir funkcijas 2. veida pārtraukuma punkts;
  • Taisne y=b ir funkcijas f(x) horizontālā asimptota ( Ox asij paralēla taisne ), un
  1. ja , tad eksistē horizontālā asimptota labajā pusē, kur , un
  2. ja , tad eksistē horizontālā asimptota kreisajā pusē , kur  ;
  • Taisne ir funkcijas f(x) slīpā asimptota ( kas veido leņķi ar Ox asi) , kur un

3. solis[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Noskaidrot, vai funkcija f(x) ir pāra vai nepāra funkcija.
  1. Pāra funkcija, ja un funkcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret Oy asi.
  2. Nepāra funkcija, ja  ; grafiks ir simetrisks attiecībā pret koordinātu sākumpunktu;
  • Noskaidro, vai funkcija ir periodiska, tas ir, , un atrod periodu T.

4. solis[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Atrod grafika krustpunktus ar koordinātu asīm;
  • Nosaka, kādos intervālos funkcija ir pozitīva un kādos negatīva.

5. solis[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Atrod 1. kārtas atvasinājuma kritiskos punktus un funkcijas ekstrēmus.
  1. Punkts ir šī atvasinājuma kritiskais punkts, ja  ;
  • Nosaka intervālus, kādos funkcija ir augoša un kādos - dilstoša.
  1. Funkcija ir dilstoša intervālā, ja .
  2. Funkcija ir augoša intervālā, ja .
  • Nosaka ekstrēmu koordinātas. Ekstrēma punkts atdala funkcijas augšanas intervālu no dilšanas intervāla.
  1. Kritiskais punkts ir minimuma punkts, ja funkcija dilst intervālā pirms un aug intervālā pēc .
  2. Kritiskais punkts ir maksimuma punkts, ja funkcija aug intervālā pirms un dilst intervālā pēc .

6. solis[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Atrod 2. kārtas atvasinājuma kritiskos punktus un funkcijas grafika pārliekuma punktus.
  1. Punkts ir šī atvasinājuma kritiskais punkts, ja .
  • Nosaka izliekuma un ieliekuma intervālus.
  1. Funkcijas grafiks ir izliekts intervālā, ja .
  2. Funkcijas grafiks ir ieliekts intervālā, ja .
  • Atrod pārliekuma punktu koordinātas.
  1. ir pārliekuma punkts, ja šis punkts atdala funkcijas grafika izliekto daļu no ieliektās daļas.

7. solis - konstruē funkcijas grafiku.[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lineāra funkcija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Par lineāru funkciju sauc funkciju , kur k nav vienāds ar nulli. Lineāras funkcijas grafiks ir taisne. Lai konstruētu grafiku, sastāda tabulu, kurā izvēlas trīs "x" vērtības. Taisnes virziena koeficients k norāda, kādu leņķi taisne veido ar X ass pozitīvo virzienu:[2]

Dažas lineāras funkcijas
Ja , taisne ar X asi veido šauru leņķi
Ja , taisne ar X asi veido platu leņķi

Definīcijas un vērtību apgabals lineārai funkcijai ir visi reālie skaitļi.

Ja , tad

(tiešās proporcionalitātes funkcija). Tādā gadījumā funkcijas grafiks ir taisne, kas iet caur koordinātu sākumpunktu.

Apgrieztās proporcionalitātes funkcija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Par apgrieztās proporcionalitātes funkciju sauc funkciju , kur ir konstante un nav vienāda ar nulli.. Līkne sastāv no diviem zariem. Sastādot tabulu, izvēlas vismaz 6 "x" vērtības. Nedrīkst izvēlēties nulli! Ja , tad hiperbola atrodas I un III kvadrantā. Ja , tad hiperbola atrodas II un IV kvadrantā.

Ir divu veidu saucēji:

1) kur n ir nepāra skaitlis un . Funkcijai ir vertikālā asimptota , jo definīcijas apgabals ir , kā arī horizontālā asimptota , jo vērtību apgabals ir

Hiperbola, kur k > 0 un n - nepāra skaitlis

2) kur n ir pāra skaitlis un . Šādas funkcijas atrodas 1. un 2. kvadrantā. Funkcijai ir vertikālā asimptota , jo definīcijas apgabals ir , kā arī horizontālā asimptota . Funkcijas vērtību apgabals ir .

Hiperbola, kur saucējā n = 2 (pāra skaitlis)

Saknes funkcijas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

1)

Par kvadrātsaknes funkciju sauc funkciju . Funkcijas grafiks ir parabolas zars. Funkcijas grafiks atrodas I kvadrantā. Funkcijas definīcijas un vērtību apgabals ir visi nenegatīvie skaitļi (nulle un visi pozitīvie skaitļi)

Parabolas augšējais zars.png

2)

Par kubsaknes funkciju sauc funkciju, kur . Funkcijas grafiks atrodas 1. un 3. kvadrantā, ja . Funkcijas grafiks atrodas 2. un 4. kvadrantā, ja

Kubiskā parabola2.png

Pakāpes funkcija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

1) (kvadrātfunkcija).

Funkcijas grafiks ir parabola. Sastādot tabulu, jāizvēlas piecas "x" vērtības. Definīcijas apgabals ir visi reālie skaitļi, bet vērtību apgabals ir visi pozitīvie skaitļi, ieskaitot nulli

  • Par parabolu sauc tādu plaknes punktu kopu, kuras jebkurš punkts atrodas vienādā attālumā no dotā šīs plaknes punkta, ko sauc par fokusu, un dotās taisnes, ko sauc par direktrisi. Attālumu no fokusa līdz direktrisei sauc par parabolas parametru; to apzīmē ar burtu p. Direktrises vienādojums ir , bet fokusa F koordinātas ir .[3]
    Parabolas kanoniskais vienādojums
    Parabola, kur b=0 un c=0, un a > 0

2) (trešās pakāpes funkcija).

Funkcijas grafiks ir kubiskā parabola. Sastādot tabulu, jāizvēlas piecas "x" vērtības. Gan definīcijas, gan vērtību apgabals šai funkcijai ir visi reālie skaitļi.

Kubiskā parabola

3) (Puskubiskā parabola)

Parametriskā formā:

Puskubiskā parabola.png

4) (Neila parabola)

Parametriskā formā:

Neila parabola.png

Eksponentfunkcijas grafiks[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Funkcijai ir horizontālā asimptota . Funkcijas vērtībām pieaugot, grafiks neierobežojas. Definīcijas apgabals ir , vērtību apgabals ir . grafiks krustojas ar y asi punktā , jo

1) , kur a > 1

Funkcijas grafiks ir augošs no kreisās puses. Horizontālā asimptota to ierobežo 2. kvadrantā, kad .

2) , kur 0 < a < 1

Funkcijas grafiks ir dilstošs no kreisās puses. Horizontālā asimptota to ierobežo no kreisās puses Horizontālā asimptota to ierobežo 1. kvadrantā, kad..

Koordinātu plaknē atspoguļoti un funkcijas

Hiperbola[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Par hiperbolu sauc tādu plaknes punktu kopu, kuras brīvi izraudzīta punkta attālumu starpība līdz diviem dotiem šīs plaknes punktiem, ko sauc par fokusiem, ir konstanta. Fokusus apzīmē ar burtiem un . Ja M(x; y) ir brīvi izraudzīts hiperbolas punkts, tad lietosim arī šādus apzīmējumus: un . Nogriežņus un sauc par hiperbolas fokālajiem rādiusiem. Punktus un sauc par hiperbolas reālajām virsotnēm, bet un - par imaginārajām (šķietamajām) virsotnēm. Nogriežņa un garumu 2a sauc par hiperbolas reālo asi, nogriežņa un garumu 2b - par hiperbolas imagināro asi. Lielumus a un b sauc attiecīgi par hiperbolas reālo pusasi un imagināro pusasi. Hiperbolai ir divas asimptotas, kas savstarpēji simetriskas attiecībā pret koordinātu asīm; un tās ir taisnes: un . Izsakot fokālos rādiusus ar punktu , un koordinātām, iegūst hiperbolas kanonisko vienādojumu: . Parametriskā formā (labajam zaram): . No hiperbolas kanoniskā vienādojuma iegūstam vienādības: un .

Hiperbolas grafiks

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Kronbergs E., Rivža P., Bože Dz. Augstākā matemātika, 1. daļa., R.:„Zvaigzne“ 1988
  2. K. Šteiners, B. Siliņa. Augstākā matemātika I, R.:„Zvaigzne ABC“, 1997.
  3. K. Šteiners, B. Siliņa. Augstākā matemātika II, R.:„Zvaigzne ABC“, 1998.