Astoņu gadu vecumā Konvejs sāka braukt ar kartingiem. Vēlāk viņš kļuva par britu Formula A čempionu. No 2003. līdz 2004. gadam viņš brauca britu Formula Renault, kur otrajā sezonā kļuva par čempionu. Tad viņš divas sezonas brauca brituFormula 3, kur arī otrajā sezonā izcīnīja titulu. Paralēli, viņš 2006. gadā nobrauca divas sacīkstes GP2 bez īpašiem panākumiem. Togad Konvejs kļuva par žurnāla "Autosport" gada nacionālo pilotu. 2007. gadā viņš visu sezonu brauca GP2 (Super Nova komandā) un kopvērtējumā bija četrpadsmitais. 2008. gadā viņš brauca Trident komandas sastāvā.