Grupa (matemātika)

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Attēlā redzamā Rubika kuba iespējamie manipulēšanas veidi veido grupu.

Grupa (franču: groupe - kopa) abstraktajā algebrā ir algebriska struktūra ar vienu asociatīvu bināru operāciju, kurā eksistē vienības elements un katram elementam — tā inversais (jeb apgrieztais) elements. Matemātikas nozari, kurā tiek pētītas grupas, sauc par grupu teoriju.

Definīcija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Par bināru operāciju kopā G sauc tādu funkciju •: G × G → G, kas jebkuriem diviem kopas G elementiem x un y piekārto elementu xy, kas arī pieder kopai G (šeit simbols "•" nenozīmē reizināšanu, bet gan kādu abstraktu darbību). Lai pāris (G, •) veidotu grupu, ir jāizpildās grupas aksiomām:

slēgtība[1]
Jebkuriem diviem kopas G elementiem x un y operācijas "•" rezultāts xy arī pieder kopai G.
asociativitāte
Jebkuriem trim kopas G elementiem x, y un z ir spēkā vienādojums (xy) • z = x • (yz).
vienības elements
Eksistē tāds kopas G elements e, ka jebkuram kopas G elementam x izpildās īpašība ex = xe = x.
inversais elements
Katram kopas G elementam x eksistē tāds kopas G elements y, ka xy = yx = e, kur e ir vienības elements.

Formāli šīs aksiomas var pierakstīt šādi:


\begin{align}
  & \forall x,y \in G: x \cdot y \in G, \\
  & \forall x,y,z \in G: (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z), \\
  & \exists e \in G \; \forall x \in G: e \cdot x = x \cdot e = x, \\
  & \forall x \in G \; \exists y \in G: x \cdot y = y \cdot x = e.
\end{align}

Atsauces un piezīmes[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Bieži vien slēgtību neiekļauj grupas aksiomu sarakstā, jo slēgtība izriet no tā, ka "•" ir bināra operācija kopā G.