Asociativitāte

Matemātikā asociativitāte ir īpašība, kas var piemist binārai operācijai. Asociativitāte ir viena no grupas aksiomām. Intuitīvi asociativitāte nozīmē to, ka izteiksmes vērtība nav atkarīga no tā, kā saliek iekavas. To, cik lielā mērā operācija ir asociatīva, raksturo asociators.

Ja izteiksmē vairākas reizes pēc kārtas parādās viena un tā pati asociatīva binārā operācija (piemēram, saskaitīšana vai reizināšana), tad izteiksmes vērtība nav atkarīga no šo operāciju izpildes secības, tāpēc iekavas parasti neliek. Piemēram,

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c,

(a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c.

Taču šāda īpašība nav spēkā, ja izteiksmē ir dažādas asociatīvas binārās operācijas. Piemēram,

(1 + 2) · 3 ≠ 1 + (2 · 3),

jo kreisā puse ir vienāda ar 3 · 3 = 9, bet labā — ar 1 + 6 = 7.

Asociativitātei līdzīga īpašība ir komutativitāte. Komutativitāte nozīmē to, ka operācijas argumentu secībai nav nozīmes (nevis operāciju izpildes secībai).

Definīcija

Bināru operāciju "∗" kopā S sauc par asociatīvu, ja jebkuriem trijiem kopas S elementiem x, y, z izpildās īpašība (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z). Formāli to pieraksta šādi:

$\forall x, y, z \in S: (x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z),$

kur "∀" ir universālkvantors (lasa kā "visiem") un "∈" apzīmē piederību kopai (lasa kā "pieder").

Piemēri

Asociatīvas operācijas

Operācija	Operācijas īpašība	Piemērs
Saskaitīšana	(a + b) + c = a + (b + c)	(5 + 1) + 3 = 6 + 3 = 9, 5 + (1 + 3) = 5 + 4 = 9.
Reizināšana	(a · b) · c = a · (b · c)	(2 · 3) · 4 = 6 · 4 = 24, 2 · (3 · 4) = 2 · 12 = 24.
Lielākais kopīgais dalītājs	LKD(LKD(a, b), c) = LKD(a, LKD(b, c))	LKD(LKD(12, 6), 4) = LKD(6, 4) = 2, LKD(12, LKD(6, 4)) = LKD(12, 2) = 2.
Mazākais kopīgais dalāmais	MKD(MKD(a, b), c) = MKD(a, MKD(b, c))	MKD(MKD(2, 6), 5) = MKD(6, 5) = 30, MKD(2, MKD(6, 5)) = MKD(2, 30) = 30.
Matricu reizināšana	(A · B) · C = A · (B · C)	$A = \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix} \bigr), \, B = \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix} \bigr), \, C = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{smallmatrix} \bigr),$ $\begin{align} A \cdot B &= \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix} \bigr) = \bigl( \begin{smallmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 5 \end{smallmatrix} \bigr), \\ B \cdot C &= \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{smallmatrix} \bigr) = \bigl( \begin{smallmatrix} 12 & 9 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix} \bigr), \end{align}$ $\begin{align} (A \cdot B) \cdot C &= \bigl( \begin{smallmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 5 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{smallmatrix} \bigr) = \bigl( \begin{smallmatrix} 18 & 17 \\ 15 & 13 \end{smallmatrix} \bigr), \\ A \cdot (B \cdot C) &= \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot \bigl( \begin{smallmatrix} 12 & 9 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix} \bigr) = \bigl( \begin{smallmatrix} 18 & 17 \\ 15 & 13 \end{smallmatrix} \bigr). \end{align}$
Funkciju kompozīcija	(f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h)	A, B, C — patvaļīgas kopas, f: A → B, g: B → C, h: C → D — funkcijas starp tām.
Punktu saskaitīšana uz eliptiskās līknes	(A + B) + C = A + (B + C)	A, B, C ir punkti uz eliptiskās līknes.

Neasociatīvas operācijas

Operācija	Operācijas īpašība	Piemērs
Atņemšana	(a − b) − c ≠ a − (b − c)	(4 − 2) − 1 = 2 − 1 = 1, 4 − (2 − 1) = 4 − 1 = 3.
Dalīšana	(a / b) / c ≠ a / (b / c)	(4 / 2) / 2 = 2 / 2 = 1, 4 / (2 / 2) = 4 / 1 = 4.
Kāpināšana	$a^{(b^c)} \neq (a^b)^c$	$2^{(1^2)} = 2^1 = 2, \,$ $(2^1)^2 = 2^2 = 4. \,$
Oktonionu reizināšana	(a · b) · c ≠ a · (b · c)	(e1 · e2) · e3 = e4 · e3 = −e6, e1 · (e2 · e3) = e1 · e5 = e6.

Skatīt arī

• Komutativitāte
• Distributivitāte

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Associative, MathWorld.
• Associative, PlanetMath.