Asociativitāte

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Matemātikā asociativitāte ir īpašība, kas var piemist binārai operācijai. Asociativitāte ir viena no grupas aksiomām. Intuitīvi asociativitāte nozīmē to, ka izteiksmes vērtība nav atkarīga no tā, kā saliek iekavas. To, cik lielā mērā operācija ir asociatīva, raksturo asociators.

Ja izteiksmē vairākas reizes pēc kārtas parādās viena un tā pati asociatīva binārā operācija (piemēram, saskaitīšana vai reizināšana), tad izteiksmes vērtība nav atkarīga no šo operāciju izpildes secības, tāpēc iekavas parasti neliek. Piemēram,

(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c,
(a · b) · c = a · (b · c) = a · b · c.

Taču šāda īpašība nav spēkā, ja izteiksmē ir dažādas asociatīvas binārās operācijas. Piemēram,

(1 + 2) · 3 ≠ 1 + (2 · 3),

jo kreisā puse ir vienāda ar 3 · 3 = 9, bet labā — ar 1 + 6 = 7.

Asociativitātei līdzīga īpašība ir komutativitāte. Komutativitāte nozīmē to, ka operācijas argumentu secībai nav nozīmes (nevis operāciju izpildes secībai).

Definīcija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Bināru operāciju "" kopā S sauc par asociatīvu, ja jebkuriem trijiem kopas S elementiem x, y, z izpildās īpašība (x  y z = x  (y  z). Formāli to pieraksta šādi:

 \forall x, y, z \in S: (x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z),

kur "∀" ir universālkvantors (lasa kā "visiem") un "∈" apzīmē piederību kopai (lasa kā "pieder").

Piemēri[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Asociatīvas operācijas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Operācija Operācijas īpašība Piemērs
Saskaitīšana (a + b) + c = a + (b + c) (5 + 1) + 3 = 6 + 3 = 9,
5 + (1 + 3) = 5 + 4 = 9.
Reizināšana (a · b) · c = a · (b · c) (2 · 3) · 4 = 6 · 4 = 24,
2 · (3 · 4) = 2 · 12 = 24.
Lielākais kopīgais dalītājs LKD(LKD(a, b), c) = LKD(a, LKD(b, c)) LKD(LKD(12, 6), 4) = LKD(6, 4) = 2,
LKD(12, LKD(6, 4)) = LKD(12, 2) = 2.
Mazākais kopīgais dalāmais MKD(MKD(a, b), c) = MKD(a, MKD(b, c)) MKD(MKD(2, 6), 5) = MKD(6, 5) = 30,
MKD(2, MKD(6, 5)) = MKD(2, 30) = 30.
Matricu reizināšana (A · B) · C = A · (B · C) 
  A = \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix} \bigr), \,
  B = \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix} \bigr), \,
  C = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{smallmatrix} \bigr),


\begin{align}
  A \cdot B &= \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot
               \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)
             = \bigl( \begin{smallmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 5 \end{smallmatrix} \bigr), \\
  B \cdot C &= \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot
               \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{smallmatrix} \bigr)
             = \bigl( \begin{smallmatrix} 12 & 9 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix} \bigr),
\end{align}


\begin{align}
  (A \cdot B) \cdot C
   &= \bigl( \begin{smallmatrix} 5 & 6 \\ 3 & 5 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot
      \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 2 \end{smallmatrix} \bigr)
    = \bigl( \begin{smallmatrix} 18 & 17 \\ 15 & 13 \end{smallmatrix} \bigr), \\
  A \cdot (B \cdot C)
   &= \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot
      \bigl( \begin{smallmatrix} 12 & 9 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix} \bigr)
    = \bigl( \begin{smallmatrix} 18 & 17 \\ 15 & 13 \end{smallmatrix} \bigr).
\end{align}

Funkciju kompozīcija (fg) ∘ h = f ∘ (gh) A, B, C — patvaļīgas kopas,
f: AB, g: BC, h: CDfunkcijas starp tām.
Punktu saskaitīšana uz eliptiskās līknes[1] (A + B) + C = A + (B + C) A, B, C ir punkti uz eliptiskās līknes.

Neasociatīvas operācijas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Operācija Operācijas īpašība Piemērs
Atņemšana (ab) − ca − (bc) (4 − 2) − 1 = 2 − 1 = 1,
4 − (2 − 1) = 4 − 1 = 3.
Dalīšana (a / b) / ca / (b / c) (4 / 2) / 2 = 2 / 2 = 1,
4 / (2 / 2) = 4 / 1 = 4.
Kāpināšana  a^{(b^c)} \neq (a^b)^c  2^{(1^2)} = 2^1 = 2, \,
 (2^1)^2 = 2^2 = 4. \,
Oktonionu reizināšana[2] (a · b) · ca · (b · c) (e1 · e2) · e3 = e4 · e3 = −e6,
e1 · (e2 · e3) = e1 · e5 = e6.

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Tas, ka punktu saskaitīšana uz eliptiskās līknes ir asociatīva, nebūt nav acīmredzami, taču to ir iespējams pierādīt. Skatīt, piemēram,
  2. Oktonionu reizināšanas likumi atrodami šeit:

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]