Iracionāls skaitlis

Matemātikā iracionāls skaitlis ir jebkurš reāls skaitlis, kas nav racionāls (to nevar izteikt formā m/n, kur m ir vesels skaitlis, bet n — naturāls skaitlis). Iracionāli skaitļi ir, piemēram, √2, 3 − √5/2, π, e, ln(2) un 0,12345678910111213…, kur pēdējais skaitlis ir iegūts aiz komata pēc kārtas pierakstot visus naturālos skaitļus decimālajā pierakstā. Ja iracionālu skaitli pieraksta decimālajā skaitīšanas sistēmā, tad iegūst bezgalīgu neperiodisku decimāldaļskaitli.

Visu iracionālo skaitļu kopu apzīmē ar $\scriptstyle\mathbb{I}$ un tā ir racionālo skaitļu kopas $\scriptstyle\mathbb{Q}$ papildinājums reālo skaitļu kopā $\scriptstyle\mathbb{R}$ :

$\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}.$

Tā kā $\scriptstyle\mathbb{R}$ ir nesanumurējama kopa, bet $\scriptstyle\mathbb{Q}$ ir sanumurējama, tad iracionālo skaitļu kopa $\scriptstyle\mathbb{I}$ ir nesanumurējama. Tas nozīmē, ka kopas $\scriptstyle\mathbb{I}$ kardinalitāte ir lielāka par kopas $\scriptstyle\mathbb{Q}$ kardinalitāti (intuitīvi tas nozīmē, ka iracionālo skaitļu ir vairāk nekā racionālo) un kopas $\scriptstyle\mathbb{Q}$ mērs kopā $\scriptstyle\mathbb{R}$ ir nulle (intuitīvi tas nozīmē, ka gandrīz jebkurš reāls skaitlis ir iracionāls).

Iracionalitātes pierādīšana [izmainīt šo sadaļu]

Pirmie skaitļi, par kuriem tika pierādīts, ka tie ir iracionāli, ir √2 un zelta griezums φ.

Pierādījums tam, ka skaitlis √2 ir iracionāls

Pieņemsim, ka √2 ir racionāls skaitlis jeb eksistē tādi veseli skaitļi m un n ≠ 0, ka √2 = m/n. Papildus varam pieņemt, ka vismaz viens no skaitļiem m un n ir nepāra — pretējā gadījumā abus skaitļus var izdalīt ar 2. Ja abas vienādojuma √2 = m/n puses pareizina ar n un ceļ kvadrātā, tad iegūst 2n² = m². No šīs sakarības izriet, ka m ir jābūt pāra skaitlim, teiksim, m = 2p, kur p ir vesels skaitlis. Tātad 2n² = 4p² jeb n² = 2p². Tas nozīmē, ka n arī ir jābūt pāra skaitlim. Tā ir pretruna, jo mēs pieņēmām, ka vismaz viens no skaitļiem m un n ir nepāra. □

Īpašības [izmainīt šo sadaļu]

Ja iracionālam skaitlim pieskaita vai atņem racionālu skaitli, tad joprojām iegūst iracionālu skaitli. Līdzīgi, ja iracionālu skaitli reizina vai dala ar racionālu skaitli (kas nav 0), tad arī iegūst iracionālu skaitli.
Divu iracionālu skaitļu summa var būt racionāls skaitlis. Piemēram, √3 + (1 − √3) = 1.
Eksistē divi iracionāli skaitļi, kuru summa un reizinājums ir racionāli skaitļi. Piemēram, 2 + √3 un 2 − √3.

Neatrisinātas problēmas [izmainīt šo sadaļu]

Par nevienu no šiem skaitļiem joprojām nav zināms, vai tas ir racionāls vai iracionāls:

π + e un π − e (vispārīgā gadījumā: mπ + ne, kur m un n ir veseli skaitļi, kas atšķiras no nulles),
2^e, π^e un π^√2,
Katalāna konstante G = 0,91596559…,
Eilera konstante γ = 0,57721566….

Skatīt arī [izmainīt šo sadaļu]

Racionāls skaitlis

Atsauces [izmainīt šo sadaļu]

Hardy, G. H.; Wright, E. M.; Heath-Brown, D. R. & Silverman, Joseph H. (2008), An Introduction to the Theory of Numbers (sixth izd.), USA: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5 , 45. lpp.
Niven, Ivan (2005), Irrational Numbers, Cambridge University Press, ISBN 978-0-88-385038-1 .