Algebras pamatteorēma

Algebras pamatteorēma apgalvo, ka jebkuram nekonstantam vienargumenta polinomam ar kompleksiem koeficientiem ir vismaz viena kompleksa sakne. Tā kā jebkuru reālu skaitli var uzskatīt par komplekso skaitli ar imagināro daļu 0, tad šī teorēma ir spēkā arī polinomiem ar reāliem koeficientiem.

Vienas no svarīgākajām sekām, kas izriet no algebras pamatteorēmas ir tas, ka jebkuram nenulles vienargumenta n-tās pakāpes polinomam ar kompleksiem koeficientiem ir tieši n kompleksas saknes (ņemot vērā vairākkārtīgas saknes). To var pamatot, izmantojot algebas pamatteorēmu un Bezū teorēmu. Var iegūt, ka katru n-tās pakāpes polinomu ar kompleksiem koeficientiem $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ var sadalīt reizinātājos: $P(x)=a_{n}*(x-x_{1})*(x-x_{2})*...*(x-x_{n})$, kur x_i (i ∈ 0—n) — polinoma kompleksās saknes. Turklāt šāds sadalījums ir viens vienīgs, ja ignorē reizinātāju secību.

Par spīti nosaukumam, neeksistē tīri algebrisks pierādījums šai teorēmai. Zināmie pierādījumi ietver matemātisko analīzi vai topoloģijas konceptus. Šo teorēmu nevar uzskatīt par pamatteorēmu mūsdienu algebrai. Tā radās laikā, kad algebru uzskatīja par zinātni par vienādojumiem.

Pirmais, kas izteica apgalvojumu, ka n-tās pakāpes polinomam ir n saknes bija Albērs Žirārs 1629. gadā publicētajā grāmatā L'invention nouvelle en l'Algèbre. To pirmo reizi mēģināja pierādīt Žans Lerons Dalambērs 1746. gadā, bet viņa pierādījums bija nepilnīgs. Šo apgalvojumu nesekmīgi mēģinājuši pierādīt arī vairāki citi matemātiķi, piemēram, Leonards Eilers un Žozefs Lagranžs. 18. gadsimta beigās parādijās divi pierādījumi (viena autors bija Džeimss Vuds, otra — Kārlis Frīdrihs Gauss), tomēr tie bija nepilnīgi. Pirmo pilnīgo šī apgalvojuma pierādījumu publicēja Žans Robērs Aržāns 1806. gadā Šī bija arī pirmā reize, kad algebras pamatteorēma tika definēta arī polinomiem ar kompleksiem koeficientiem, nevis tikai ar reāliem koeficientiem. 1816. gadā Gauss ieguva divus citus pierādījumus.