Algebra

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Algebra (arābu: اَلْجَبْرْ (‎al-gabr) — ‘’Šķelto daļu” atkal apvienošanās, kas vieno no plašākam daļām - kopā ar skaitļu teoriju, ģeometriju un analīzi. Bet tās vispārējās formās, algebra ir simbolu matemātika un likumi, lai manipulētu ar šiem simboliem; tas ir gandrīz visas matemātikas vienojošais pavediens. Kā piemēram, tas ietver visu no pamatvienādojuma risināšanas, lai pētītu abstrakciju kā grupu, apļus un laukums. Algebru var iedalīt divās kategorijās - elementārā algebra un abstraktā vai modernā algebra. Vienkāršā algebra tiek uzskatīta par būtisku pamatu jebkurai matemātikas pētīšanai, zinātnei vai inženierzinātnei, kā arī medicīnā un ekonomikā. Par abstrakto algebru sauc augstāko matemātiku, to galvenokārt pētījuši profesionāli matemātiķi. Daudzi agrākie darbi algebrā, kā arābu izcelsmes nosaukums liecina, tika veikts Tuvajos Austrumos, un to veicina persiešu matemātiķi, kā piemēram – Khwarizmī (780-850) un Omārs Khayams (1048-1131).

Vienkāršā algebra atšķiras no aritmētikas izmantojot abstrakcijas, piemēram, skaitļus aizstājot ar burtiem – gan nezināmus , gan izmantojot dažādas pieņemtas vērtības. Kā piemēram, x+2=5, burts “x” ir nezināmais, bet izmantojot pretēju darbību var atrisināt “x” vērtību: x=5-2; x=3. Izteiksmē E=mc2, apzīmējumi “E” un “m” ir mainīgie, bet apzīmējums “c” ir konstanta vērtība – gaismas ātrums vakuumā. Algebra dod metodes, lai atrisinātu vienādojumus un izteiktu formulas, kas ir daudz vieglāka ( priekš tiem, kuri zina kā izmantot tos) nekā vecā metode rakstot visu ar vārdiem.

Vārds “algebra” tiek izmantots arī dažādos īpašos veidos. Īpašā matemātisko objektu veidā abstraktajā algebrā, kur vārds “algebra” tiek izmantots lineārajā algebrā un topoloģijas algebrā. Matemātiķi, kuri pēta algebru sauc par algebristu.

Etimoloģija.[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vārds “algebra” nāk no arābu valodas (لْجَبْرْ (‎al-gabr)). Vārds ienāca angļu valodā 15. gadsimtā no spāņu, itāļu vai viduslaiku latīņu valodas. Vārds “algebra” sākotnēji attiecās uz ķirurģiskām procedūrām. Pirmo reizi matemātikā šis vārds parādījās 16. gadsimtā. Algebras saknes sniedzas līdz seniem babiloniešiem, kuri izstrādāja moderno aritmētisko sistēmu, ar kuru palīdzību viņi varēja izdarīt aprēķinus algoritmiskā veidā. Babilonieši izstrādāja formulas, lai veiktu risinājumu problēmām, kuras atrisina šodien izmantojot lineāros vienādojumus, kvadrātvienādojumus un nenoteiktos lineāros vienādojumus. Turpretī, lielākā daļa Ēģiptieši šajā laikmeta, kā arī vienu gadu tūkstoti pirms mūsu ēras Grieķijas un Ķīnas matemātikā, šādus vienādojumus risināja ar ģeometrijas metodēm.

Līdz Plato laikam , Grieķu matemātiķi bija pārcietuši lielas pārmaiņas. Grieķi radīja ģeometrisko algebru, kurā termini bija parādīti no ģeometrisku priekšmetu puses, parasti līnijas, kuras bija asociētas ar burtiem. Diofantus (3 gs. mūsu ērā) bija Aleksandrijas Grieķu matemātiķis un autors sēriju grāmatām – “Aritmētika”. Šie teksti skaidroja kā risināt algebriskus vienādojumus, un ir no skaitļu teorijas līdz Diofantusa vienādojuma modernajam jēdzienam.

Perisians Muhamads ibn Musa (780-850) sarakstīja grāmatu “The Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing” , kur izveidoja algebru kā matemātikas mācību, kas ir neatkarīga no ģeometrijas un aritmētikas. Hellēnisma matemātiķi Aleksandrijas un Diofantus, kā arī indiešu matemātiķis Brahmagupta turpināja Ēģiptes un Babilonijas tradīcijas, tāpēc Diofantus un Brahmagupts ir augstā līmenī. Kā piemēram, pirmais pabeigtais aritmētiskais risinājums (iekļaujot nulles un negatīvo atrisinājumu) – kvadrātvienādojums, ko bija aprakstījis Bralmagupta savā grāmatā “Brahmasphutasiddhanta”. Vēlāk persiešu un arābu matemātiķi attīstīja algebriskas metodes daudz augstākā pakāpē. Lai gan Diofantus un Babilonieši izmantoja galvenokārt īpašu ad hoe metodi, lai atrisinātu vienādojumus. Al-Khwarizmisa ieguldījums bija būtisks. Viņš atrisināja lineāros un kvadrātvienādojumus bez algebriskiem simboliem, negatīviem skaitļiem vai nulli, šādā veidā viņam bija jāatšķir vairāki vienādojuma veidi.

Kontekstā, kur algebra ir identificēta ar vienādojumu teoriju, grieķu matemātiķis Diofontus bija labi zināms kā “algebras tēvs”, bet pēdējā laikā, šeit notiek diskusijas par to, vai Al – Khwarizmisa, kurš atklāja algebras mācību, nav viņa pelnījis šo titulu. Tie, kuri atbalsta Diofantosu faktā, ka algebru atklāja Al-Jabr, kura ir mazliet elementārāka nekā algebra, kura atrasta aritmētikā. Toties tie, kuri atbalsta Al – Khwarizmisa norāda, ka viņš ieviesa samazināšanas un noīsināšanas metodi. Termins al-jabr sākotnēji attiecās uz to, kas viņš deva izsmeļošu kvadrātvienādojuma risināšanas izskaidrojumu, izmantojot ģeometriskos pierādījumus, tanī pašā brīdī uztverot algebru kā neatkarīgu mācību. Viņš arī pētīja vienādojumus priekš sevis paša un vispārīgā veidā neatrada problēmas risināšanā, bet ir speciāli nosaukts, kā “noteikts problēmu risinātājs”.

Persiešu matemātiķis Omārs Khayams tiek uzskatīts par algebriskas ģeometrijas dibinātāju un atklāja vispārīgo kubisko vienādojumu ģeometrisko risinājumu. Viņa grāmata “Traktāts par algebras problēmu demonstrēšanu” (1070), kura ir devusi algebras principus, ir daļa no persiešu matemātiķu atklājumiem, kuri tika ieviesti Eiropā. Vēl cits persiešu matemātiķis Sharaf-al-Din al Tusi radīja algebriskus un skaitliskus risinājumus, lai risinātu dažādus kubiskos vienādojumus. Viņš arī uzlaboja funkcijas jēdzienu. Indiešu matemātiķi Mahavira un Bhaskara II, persiešu matemātiķis Al-Karaji, un ķīniešu matemātiķis Zhu Shijie, risināja dažādus trešās kārtas, ceturtās kārtas un augstākas kārtas polinomu vienādojumus izmantojot skaitliskās metodes. 13. gadsimtā, pašā atmodas sākumā Fibonači pārstāvēja Eiropas algebru, parādot trešās kārtas vienādojuma risināšanu. Tā kā Islāma pasaule samazinājās, Eiropiešu pasaule auga. Un tādēļ algebra Eiropā turpināja attīstīties.

Algebras vēsture[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Itāļu matemātiķis Girdamo Kardono publicēja risinājumus vienādojumiem savā grāmatā “Ars Magna”, 1545.gadā. 16. gadsimta beigās Francois Vietes darbs par jauno algebru bija svarīgs solis pretī modernajai algebrai. 1637. gadā, Renē Deskarte publicēja “La Geonetrie” ieviešot analizējošo ģeometriju un iepazīstinot ar moderno algebru. Vēl viens galvenais notikums turpmākajā algebras attīstībā bija vispārējā algebriskā kvadrātvienadojuma un piektās pakāpes vienādojuma risināšanas attīstība 16. gadsimta vidū. Japāņu matemātiķis Seki Kowa attīstīja noteicēja ideju 17. gadsimtā, bet 10 gadus vēlāk neatkarīgi Gottfrīds Leibnizs izmantoja matricas, lai atrisinātu sinhronus lineāros vienādojumus. Gabriels Kramers arī veica darbus saistībā ar matricām un noteicējiem 18. gadsimtā Jozefs – Luis Langranža pētīja permutācijas savā zinātniskajā darbā 1770. gadā, lai risinātu algebriskus vienādojumus, viņš radīja Langranža teorēmu. Pauls Rufīnī bija pirmais, kurš radīja permutācijas grupas teorijai un tāpat kā viņa priekšteči, viņš meklēja risinājumus algebriskiem vienādojumiem. Abstraktā algebra tika ieviesta 19. gadsimtā, atvasināta no % vienādojuma risināšanas, sākotnēji pievēršot uzmanību Galoi teorijai. Georgs Pīkots bija aksonometriskās domāšanas dibinātājs aritmētikā un algebrā. Augusts De Morgan atklāja saistību algebru. Josiahs Willards Gibbs vektoru algebru trīs dimensiju telpā un Arturs Cayley radīja algebru matricas.

Algebra, kā viena matemātikas nozare[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Algebra iesākās ar aprēķināšanu, kur skaitļus aizstājām ar burtiem. Tādējādi izveidojot visparīgos vienādojumus, kā piemēram, kvadrātvienādojums:

                                        ax2+bx+c=0

a, b, c var būt jebkurš skaitlis, izņemot 0, lai apmierinātu vienādojumu un varētu aprēķināt x vērtības jeb vienādojuma saknes. Vēsturiskā un pašreizējā mācīšanā, algebras mācība sākas ar vienādojumu risināšanu. Tādi vispārīgie jautājumi kā: Vai vienādojumam ir risinājums? Cik risinājumi ir vienādojumam? Ko var pateikt par risināšanas veidu?. Šie jautājumi noved līdz ideju formai, struktūrai un simetrijai. Šis rezultāts atļauj algebrai paplašināties uzskatot, ka bez skaitliska priekšmeta – kā vektori, matricas un polinomi. Šīs skaitliskās struktūras īpašības tika nodalīties, lai noteiktu algebriskas uzbūves, tādas kā grupas, riņķi un laukumi. Pirms 16.gadsimta, matemātiķi tika iedalīti tikai divās apakšnozarēs – aritmētiskajā un ģeometriskajā. Pat tad, kad dažas metodes kuras tika attīstītas daudz agrāk, var mūsdienās uzskatīt kā algebras rašanos. No 19. gadsimta otrās puses parādās jaunie matemātikas virzieni, kurus izmantoja gan aritmētisku, gan ģeometrisku uzdevumu aprēķināšanai, jo gandrīz visus tika pielietota algebra. Mūsdienās algebra ir izaugusi un attīstījusies tā, ka tajā ietilpst daudzas matemātikas nozares, kuras var redzēt “Matemātikas priekšmeta klasifikācijā”, kur neviens no pirmā līmeņa nozarēm , ko sauc par algebru. Šodien algebra iekļauj nodaļas 08 – vispārīgā algebriskās sistēmas , 12 – laukuma teorija un polinomi, 13 – riņķa līnijas un lodes pētīšana, 15 – lineāra algebra, 16 – acosiatīvi riņķi un algebra, 17 - neacosiatīvi riņķi un algebra, 18 – kategoriju teorija; homoloģiskā algebra, 19 – K-teorija, 20 – grupu teorija. Algebra tiek arī lietota paplašināti – 11 – skaitļu teorija un 14 – algebriskā ģeometrija.