Komutativitāte

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Piemērs, kas ilustrē saskaitīšanas komutativitāti (3 + 2 = 2 + 3)

Matemātikā komutativitāte ir īpašība, kas var piemist vairākargumentu funkcijai un binārai operācijai. Intuitīvi komutativitāte nozīmē to, ka funkcijas vai bināras operācijas vērtība nav atkarīga no tās argumentu secības. Ja argumentus drīkst mainīt vietām, tad saka, ka tie komutē. To, cik lielā mērā argumenti komutē, raksturo to komutators.

Operācijas, kas nav komutatīvas, sauc par nekomutatīvām. Nekomutatīvu operāciju argumenti nekomutē (to, cik lielā mērā tie nekomutē, raksturo antikomutators). Viens no nekomutatīvu operāciju veidiem ir antikomutatīvas operācijas jeb operācijas, kas ir "maksimāli nekomutatīvas" (argumentus mainot vietām parādās mīnusa zīme).

Komutativitātei līdzīga īpašība ir asociativitāte. Asociativitāte nozīmē to, ka operāciju izpildes secībai nav nozīmes (nevis operācijas argumentu secībai).

Ja grupas operācija ir komutatīva, tad šādu grupu sauc par komutatīvu jeb Ābela grupu.

Definīcija[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vārds "komutativitāte" ir cēlies no franču valodas un pirmo reizi parādījās publikācijā 1814. gadā

Bināru operāciju "" kopā S sauc par komutatīvu, ja jebkuriem diviem kopas S elementiem x un y izpildās īpašība x  y = y  x. Formāli to pieraksta šādi:

 \forall x, y \in S: x \ast y = y \ast x,

kur "∀" ir universālkvantors (lasa kā "visiem") un "∈" apzīmē piederību kopai (lasa kā "pieder"). Līdzīgi definē komutatīvu divargumentu funkciju:

 \forall x, y \in S: f(x, y) = f(y, x).

Šo definīciju var viegli vispārināt n argumentu funkcijai:


  \forall x_1, \dots, x_n \in S, \,
  \forall \sigma \in S_n:
  f(x_1, \dots, x_n) = f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}),

kur Sn ir skaitļu no 1 līdz n visu permutāciju kopa.

Piemēri ikdienā[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Komutatīvas darbības ikdienā[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Kurpju uzvilkšana ir komutatīva, jo rezultāts nav atkarīgs no tā, vai vispirms uzvelk labo kurpi un tad kreiso, vai otrādi.
  • Monētu iemešana kafijas automātā ir komutatīva, jo nav svarīgi kādā secībā tās tiek iemestas, svarīga ir tikai kopējā summa.

Nekomutatīvas darbības ikdienā[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Kurpju un zeķu uzvilkšana nav komutatīvas darbības, jo, vispirms uzvelkot kurpes un tad zeķes, iegūst būtiski atšķirīgu rezultātu, nekā vispirms uzvelkot zeķes un tad kurpes.
  • Veļas mazgāšana un žāvēšana nav komutatīvas darbības.

Piemēri matemātikā[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Komutatīvas operācijas[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Operācija Operācijas īpašība Piemērs
Saskaitīšana a + b = b + a 2 + 3 = 5,
3 + 2 = 5.
Reizināšana a · b = b · a 3 · 5 = 15,
5 · 3 = 15.

Nekomutatīvas operācijas[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Operācija Operācijas īpašība Piemērs
Atņemšana abba 2 − 1 = 1,
1 − 2 = −1.
Dalīšana a / bb / a 3 / 1 = 3,
1 / 3 = 1 / 3.
Kāpināšana abba 23 = 8,
32 = 9.
Matricu
reizināšana
A · BB · A 
  A = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr), \,
  B = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr),


\begin{align}
  A \cdot B &= \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot
               \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)
             = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr), \\
  B \cdot A &= \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot
               \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr)
             = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr).
\end{align}

Funkciju kompozīcija fggf f(x) = 2x, g(x) = x + 1,
(fg)(x) = f(g(x)) = f(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2,
(gf)(x) = g(f(x)) = g(2x) = 2x + 1.
Kvaternionu reizināšana a · bb · a i · j = k,
j · i = −k.

Skatīt arī[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ārējās saites[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]