Pitagora trijnieks

Pitagora trijnieks ir tādu trīs naturālu skaitļu kortežs a, b, c, kuriem ir spēkā sakarība $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Tā piemēram, $6^{2}+8^{2}=10^{2}$ , tāpēc skaitļi 6, 8 un 10 veido Pitagora trijnieku. Parasti šādu trijnieku pieraksta kā (a, b, c), vislabāk zināmais un populārākais^{[nepieciešama atsauce]} šāds trijnieks ir (3, 4, 5), ko bieži piemin jau skolas ģeometrijas kursā.
Šo trijnieku nosaukums ir cēlies no Pitagora teorēmas, kura apgalvo, ka ja a, b un c ir taisnleņķa trijstūra katetes un hipotenūza, tad ir spēkā sakarība $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Tādējādi Pitagora trijnieki apraksta tādus taisnleņķa trijstūru malu garumus, kas visi ir naturāli skaitļi. Taisnleņķa trijstūri, kuru malu garumi nav naturāli skaitļi, neveido Pitagora trijniekus.

Primitīvi Pitagora trijnieki

Viegli saprast, ka ja (a, b, c) ir Pitagora trijnieks, tad arī (ka, kb, kc) ir Pitagora trijnieks jebkuram naturālam k. Līdzīgi, ja (a, b, c) ir Pitagora trijnieks un a, b un c visi dalās ar kādu naturālu k, tad $\left({\frac {a}{k}},{\frac {b}{k}},{\frac {c}{k}}\right)$ arī ir Pitagora trijnieks.
Interesi izraisa tādi Pitagora trijnieki, kuros skaitļiem a, b un c nav kopīgs dalītājs, kas lielāks par 1. Šādiem trijniekiem jebkuri divi to veidojošie skaitļi būs savstarpēji pirmskaitļi.
Pitagora trijnieku (a, b, c) sauc par primitīvu, ja katri divi no skaitļiem a, b un c ir savstarpēji pirmskaitļi. Zemāk parādīti 16 primitīvi Pitagora trijnieki:

( 3 , 4 , 5 )	( 5, 12, 13)	( 7, 24, 25)	( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41)	(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)	(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

Ģenerēšana

Pitagora trijniekus var ģenerēt, izmantojot Eiklīda formulas. Tas nozīmē, ka ja m un n ir patvaļīgi naturāli skaitļi, pie tam $m>n$ , tad skaitļi

a=m^{2}-n^{2},\,

b=2mn,\,

c=m^{2}+n^{2}\,

veido Pitagora trijnieku. Šādi iegūts Pitagora trijnieks būs primitīvs tad un tikai tad, kad m un n būs savstarpēji pirmskaitļi un viens no tiem būs pāra skaitlis.

Skatīt arī