Pitagora teorēma

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
a2+b2=c2

Eiklīda ģeometrijā Pitagora teorēma ir sakarība starp taisnleņķa trijstūra malu garumiem un tā hipotenūzas garumu: ja taisnleņķa trijstūra katešu garumi ir a un b, bet hipotenūzas garums ir c, tad a2+b2=c2. Pitagora teorēma skan šādi: Taisnleņķa trijstūrī hipotenūzas garuma kvadrāts vienāds ar abu katešu garumu kvadrātu summu.

Teorēma ir nosaukta par godu sengrieķu matemātiķim un filozofam Pitagoram, kurš to pirmais ir pierādījis.

Trīs praktiski pielietojamas teorēmas formas:

 c=\sqrt{b^2+a^2},      b=\sqrt{c^2-a^2}   un  a=\sqrt{c^2-b^2} .

Pierādījumi[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vizuāls (intuitīvs) pierādījums:

Pythagorean proof2.png

Pitagora teorēma ir visvairāk veidos pierādāmā teorēma, grāmatā The Pythagorean Proposition ir 370 dažādi pierādījumi. Populārākais Pitagora teorēmas pierādījuma veids ir Pitagora bikses. Pitagora teorēmas vispārinājums ir Ptolemaja teorēma un de Guā teorēma.

Pierādījums, izmantojot līdzīgu trijstūri[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Teorema.png
\frac{d}{a} = \frac{a}{c} \quad \Rightarrow \quad d = \frac{a^2}{c}\quad (1)
\frac{e}{b} = \frac{b}{c} \quad \Rightarrow \quad e = \frac{b^2}{c}\quad (2)

No attēla  c = d + e \,\! . Un, aizstājot izteiksmes (1) un (2):

 c = \frac{a^2}{c} + \frac{b^2}{c}

Reizinot ar c:

 c^2 = a^2 + b^2 \,\!.

Sekas[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kvadrāta diagonāles[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Square with diagonal.PNG
d^2=l^2+l^2=2\,l^2.
d =\sqrt{2\,l^2}=l \sqrt{2}.

Vienādmalu trīsstūra augstums[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Equilateral triangle.PNG
l^2=h^2+\left(\frac{l}{2}\right)^2=h^2+\frac{l^2}{4}
h^2=\frac{3\,l^2}{4}.
h= \sqrt{\frac{3\,l^2}{4}}= \frac{l\sqrt3}{2}.

Taisnleņķa trijstūra pazīme[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja trijstūra vienas malas garuma kvadrāts vienāds ar abu pārējo malu garumu kvadrātu summu, tad šīs malas pretleņķis ir taisns un trijstūris ir taisnleņķa.

Piemērs: vai trijstūris, kam malu garumi ir 6 cm, 7 cm un 9 cm, ir taisnleņķa?

Risinājums: Izvēlas garāko malu un pārbauda, vai izpildās Pitagora teorēma: 92=62+72 redzam, ka 81≠36+49, tātad šis nav taisnleņķa trijstūris.

Skatīt arī[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]