Rīmaņa integrālis

Vikipēdijas lapa
Jump to navigation Jump to search
Rīmaņa integrāļa ģeometriskā jēga

Rīmaņa integrālis ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Bernhards Rīmanis ieviesa šo jēdzienu 1854. gadā, un tā ir viena no pirmajām integrāļa jēdziena formalizācijām.

Neformāls ģeometriskais apraksts[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Rīmaņa summa (kopējais taisnstūru laukums) robežā, samazinot dalījumu, norāda laukums zem grafika.

Rīmanis formalizēja Ņūtona un Leibnica izstrādāto integrāļa jēdzienu, kā laukumu zem fukcijas grafika (figūra, kas ierobežota ar grafika līkni no vienas puses un ar abscisu asi no otras puses).

Lai to izdarītu, viņš izpētīja figūras, kas sastāv no vairākiem vertikāliem taisnstūriem, kuru pamati kopā veido integrācijas intervālu un tiek iegūti, sadalot intervālu (sk. zīmējumu) vairākās daļās.

Šādas figūras, kas sadalīta apakšintervālos ar platumu (ne obligāti vienādu visiem taisnstūriem), kuru augstums ir , laukums S ir izsakāms kā integrālsumma:

Ja eksistē robeža, uz kuru tiecas laukums S (integrālsumma) jebkuram izvēlētam sadalījumam (kad lielākais no tiecas uz nulli), tad šo robežu sauc par Rīmaņa integrāli šajā intervālā.

Definīcijas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ar integrālsummām[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pieņem, ka funkcija , kas pieņem reālas vērtībās, tiek definēta slēgtā intervālā .

Aplūko intervāla sadalījumu — galīgs punktu skaits dotajā intervālā. Šis sadalījums sadala intervālu n apakšintervālos . Garāko no sadalījuma apakšintervāliem apzīmē ar , šo skaitli sauc par sadalījuma normu, kur i-tā apakšintervāla garums.

Katrā sadalījuma apakšintervālā brīvi izvēlas punktu . Izteiksmi sauc par intergālsummu.

Ja sadalījuma norma tiecas uz nulli un integrālsumma tiecas uz to pašu skaitli neatkarīgi no izvēles, tad šo skaitli sauc par funkcijas integrāli intervālā , tas ir, .

Šajā gadījumā saka, ka funkcija ir integrējama (pēc Rīmaņa) intervālā ; pretējā gadījumā funkcija ir neintegrējama (pēc Rīmaņa) intervālā .

Īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Nedeģenerācija: .
  2. Pozitivitāte: ja integrējama funkcija ir nenegatīva, tad tās integrālis intervālā arī ir nenegatīvs.
  3. Linearitāte: ja funkcijas un integrējamas un tad funkcija arī ir integrējama, un .
  4. Nepārtrauktība: ja integrējamas funkcijas vienmērīgi saplūst intervālā funkcijā , tad integrējama un (šo formulu var iegūt kā formālas sekas no īpašībām 1-3 un robežfunkcijas integrējamības).
  5. Aditivitāte, sadalot intervālu: Ja , funkcija ir integrējama intervālā tad un tikai tad, ja tā ir integrējama katrā no intervāliem un , un līdz ar to .
  6. Ja funkcija ir primitīvā funkcija nepārtrauktai funkcijai , tad funkcijas integrāli intervālā var aprēķināt pēc Ņūtona-Leibnica formulas: n (tā ir visu integrāļu vispārīga īpašība, kas atbilst 1.—5. īpašībai, un darbojas ne tikai Rīmaņa integrālim). Kādā intervālā nepārtrauktai funkcijai vienmēr eksistē primitīvā funkcija, un katrai primitīvajai funkcijai ir šāda forma: kur ir patvaļīga konstante .

Nosacījumi Rīmaņa integrāla pastāvēšanai[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kādā intervālā nepārtraukta funkcija vienmēr ir integrējama pēc Rīmaņa (1.—5. īpašības sekas). Pārtrauktas funkcijas var būt integrējamas, bet var arī nebūt. Piemērs funkcijai, kas nav integrējama pēc Rīmaņa, var būt pārtrauktā Dirihlē funkcija.

Lebega kritērijs funkcijas integrēšanai pēc Rīmaņa[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Funkcija ir integrējama pēc Rīmaņa intervālā , tad un tikai tad, ja šajā intervālā tā ir ierobežota un tās pārtraukuma punktu Lebega mērs ir nulle — ierobežota funkcija ar galīgu vai sanumurējamu pārtraukuma punktu kopu ir integrējama.

Cits kritērijs[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lai funkcija būtu integrējama intervālā, ir nepieciešams un pietiek ar to, ka summa tiecas uz nulli ar sadalījuma diametru .

svārstības funkcijas kopā - ir starpība ,
sadalījuma diametrs [1] .

Dažas funkciju klases integrējamas pēc Rīmaņa[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Zemāk ir minētas dažas funkciju klases, kurām vienmēr pastāv Rīmaņa integrāļa vērtība [2] .

Vēsture[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Iepriekš minēto integrāla definīciju deva Košī [3], tā tika izmantota tikai nepārtrauktām funkcijām.

Rīmanis 1854. gadā (publicēts 1868. gadā :101-103) sniedza tādu pašu definīciju neņemot vērā nepārtrauktību. Darbū (1879) sniedza mūsdienīgu Rīmaņā teorijas izklāstu.

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Песин И. Н. Развитие понятия интеграла. — М.: Наука. — С. 17
  2. Фихтенгольц, 1966
  3. Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]