Rīmaņa integrālis

Rīmaņa integrāļa ģeometriskā jēga

Rīmaņa integrālis ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Bernhards Rīmanis ieviesa šo jēdzienu 1854. gadā, un tā ir viena no pirmajām integrāļa jēdziena formalizācijām.

Neformāls ģeometriskais apraksts

Rīmaņa summa (kopējais taisnstūru laukums) robežā, samazinot dalījumu, norāda laukums zem grafika.

Rīmanis formalizēja Ņūtona un Leibnica izstrādāto integrāļa jēdzienu, kā laukumu zem fukcijas grafika (figūra, kas ierobežota ar grafika līkni no vienas puses un ar abscisu asi no otras puses).

Lai to izdarītu, viņš izpētīja figūras, kas sastāv no vairākiem vertikāliem taisnstūriem, kuru pamati kopā veido integrācijas intervālu un tiek iegūti, sadalot intervālu (sk. zīmējumu) vairākās daļās.

Šādas figūras, kas sadalīta apakšintervālos ar platumu $\Delta x_{i}$ (ne obligāti vienādu visiem taisnstūriem), kuru augstums ir $f(x_{i})$, laukums S ir izsakāms kā integrālsumma:

$S=\sum _{i}f(x_{i})\Delta x_{i}.$

Ja eksistē robeža, uz kuru tiecas laukums S (integrālsumma) jebkuram izvēlētam sadalījumam (kad lielākais no $\Delta x_{i}$ tiecas uz nulli), tad šo robežu sauc par Rīmaņa integrāli šajā intervālā.

Definīcijas

Ar integrālsummām

Pieņem, ka funkcija $f$, kas pieņem reālas vērtībās, tiek definēta slēgtā intervālā $[a,b]$.

Aplūko intervāla sadalījumu $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n-1}<x_{n}=b$ — galīgs punktu skaits dotajā intervālā. Šis sadalījums sadala intervālu $[a,b]$ n apakšintervālos $[x_{i-1},x_{i}],\;i=1\dots n$. Garāko no sadalījuma apakšintervāliem apzīmē ar $\delta R=\max(\Delta x_{i})$, šo skaitli sauc par sadalījuma normu, kur $\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ — i-tā apakšintervāla garums.

Katrā sadalījuma apakšintervālā brīvi izvēlas punktu $\xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$. Izteiksmi $\sigma _{x}=\sum \limits _{i=1}^{n}{f(\xi _{i})\Delta x_{i}}$ sauc par intergālsummu.

Ja sadalījuma norma tiecas uz nulli un integrālsumma tiecas uz to pašu skaitli neatkarīgi no $\xi _{i}\in [x_{i-1},x_{i}]$ izvēles, tad šo skaitli sauc par funkcijas $f$ integrāli intervālā $[a,b]$, tas ir, $\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim \limits _{\delta R\to 0}\sigma _{x}$.

Šajā gadījumā saka, ka funkcija $f$ ir integrējama (pēc Rīmaņa) intervālā $[a,b]$; pretējā gadījumā funkcija $f$ ir neintegrējama (pēc Rīmaņa) intervālā $[a,b]$.

Īpašības

1. Nedeģenerācija: $\int \limits _{a}^{b}1\,dx=b-a$.
2. Pozitivitāte: ja integrējama funkcija $f$ ir nenegatīva, tad tās integrālis intervālā $[a,b]$ arī ir nenegatīvs.
3. Linearitāte: ja funkcijas $f$ un $g$ integrējamas un $\alpha ,\beta \in \mathbb {R}$ tad funkcija $\alpha f+\beta g$ arī ir integrējama, un $\int \limits _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int \limits _{a}^{b}g(x)\,dx$.
4. Nepārtrauktība: ja integrējamas funkcijas $f_{i}$ vienmērīgi saplūst intervālā $[a,b]$ funkcijā $f$, tad $f$ integrējama un $\lim _{i\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f_{i}(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx$ (šo formulu var iegūt kā formālas sekas no īpašībām 1-3 un robežfunkcijas integrējamības).
5. Aditivitāte, sadalot intervālu: Ja $a<b<c$, funkcija $f$ ir integrējama intervālā $[a,c]$ tad un tikai tad, ja tā ir integrējama katrā no intervāliem $[a,b]$ un $[b,c]$, un līdz ar to$\int \limits _{a}^{c}f(x)\,dx=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx+\int \limits _{b}^{c}f(x)\,dx$.
6. Ja funkcija $F$ ir primitīvā funkcija nepārtrauktai funkcijai $f$, tad funkcijas $f$ integrāli intervālā $[a,b]$ var aprēķināt pēc Ņūtona-Leibnica formulas: n$F(b)-F(a)$ (tā ir visu integrāļu vispārīga īpašība, kas atbilst 1.—5. īpašībai, un darbojas ne tikai Rīmaņa integrālim). Kādā intervālā nepārtrauktai funkcijai $f$ vienmēr eksistē primitīvā funkcija, un katrai primitīvajai funkcijai ir šāda forma: $F(x)=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt+C$ kur $C$ ir patvaļīga konstante.

Nosacījumi Rīmaņa integrāla pastāvēšanai

Kādā intervālā nepārtraukta funkcija vienmēr ir integrējama pēc Rīmaņa (1.—5. īpašības sekas). Pārtrauktas funkcijas var būt integrējamas, bet var arī nebūt. Piemērs funkcijai, kas nav integrējama pēc Rīmaņa, var būt pārtrauktā Dirihlē funkcija.

Lebega kritērijs funkcijas integrēšanai pēc Rīmaņa

Funkcija ir integrējama pēc Rīmaņa intervālā $[a,b]$, tad un tikai tad, ja šajā intervālā tā ir ierobežota un tās pārtraukuma punktu Lebega mērs ir nulle — ierobežota funkcija ar galīgu vai sanumurējamu pārtraukuma punktu kopu ir integrējama.

Cits kritērijs

Lai funkcija $f(x)$ būtu integrējama intervālā$[a,b]$, ir nepieciešams un pietiek ar to, ka summa $\sum _{i=1}^{n}\omega _{i}\Delta _{i}$ tiecas uz nulli ar sadalījuma diametru $d$.

svārstības $\omega$ funkcijas $f$ kopā $E$ - ir starpība $\sup _{E}f(x)-\inf _{E}f(x)$ ,

sadalījuma diametrs $d=\sup _{i}(x_{i}-x_{i-1})$.

Dažas funkciju klases integrējamas pēc Rīmaņa

Zemāk ir minētas dažas funkciju klases, kurām vienmēr pastāv Rīmaņa integrāļa vērtība .

• Nepārtrauktas funkcijas intervālā $[a,b].$
• Funkcijas, kas ierobežotas intervālā $[a,b]$ un tām šajā intervālā ir ierobežots skaits pārtraukumu punktu.
• Monotonas ierobežotas funkcijas.

Vēsture

Iepriekš minēto integrāla definīciju deva Košī, tā tika izmantota tikai nepārtrauktām funkcijām.

Rīmanis 1854. gadā (publicēts 1868. gadā ) sniedza tādu pašu definīciju neņemot vērā nepārtrauktību. Darbū (1879) sniedza mūsdienīgu Rīmaņā teorijas izklāstu.

Skatīt arī

• Lebega integrālis un tam pielīdzināmais Daniela integrālis, Junga integrālis
• Stiltjesa integrālis
• Vairākkārīgais Rīmaņa integrālis
• Neīstais integrālis

Ārējās saites

• Nenoteiktu un definētu integrāļu tabulas - EqWorld: Matemātisko vienādojumu pasaule.
• Rīmaņa integrāļa stingra definīcija.