Matricu reizināšana

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Matricu reizināšana ir bināra operācija, kurā tiek reizināts matricu pāris, šīs operācijas rezultātā tiek iegūta jauna matrica. Skaitļi (piemēram, reāli, kompleksi skaitļi) var tikt reizināti kā elementārajā aritmētikā.

Pastāv vairāki veidi, kā reizināt matricas, no kuriem vienkāršākais ir reizināšana ar skaitli. Matricu reizināšana nav komutatīva, kas nozīmē, ka A · BB · A. Ja tiek reizināta matrica A (n × m matrica) un B (m × p matrica), tad reizināšanas rezultāts AB ir n × p matrica.

Reizināšana[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Reizināšana ar skaitli[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vienkāršākā reizināšana ar matricām ir matricas reizināšana ar skaitli.

Skaitļa λ reizinājums ar matricu A ir matrica λA, kuras izmērs ir tāds pats, kā matricai A. Matricas λA locekļus definē kā

 (\lambda \mathbf{A})_{ij} = \lambda\left(\mathbf{A}\right)_{ij}\,,

kas izvērstā pierakstā izskatās šādi:

 \lambda \mathbf{A} = \lambda \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
\lambda A_{11} & \lambda  A_{12} & \cdots & \lambda A_{1m} \\
\lambda A_{21} & \lambda A_{22} & \cdots & \lambda A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda A_{n1} & \lambda A_{n2} & \cdots & \lambda A_{nm} \\
\end{pmatrix}\,.

Līdzīgi tiek definēts matricas A reizinājums ar skaitli λ

 (\mathbf{A}\lambda)_{ij} = \left(\mathbf{A}\right)_{ij} \lambda\,,

kas izvērstā pierakstā izskatās šādi:

 \mathbf{A}\lambda = \begin{pmatrix}
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix}\lambda = \begin{pmatrix}
A_{11} \lambda & A_{12} \lambda & \cdots & A_{1m} \lambda  \\
 A_{21} \lambda & A_{22} \lambda & \cdots & A_{2m} \lambda \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} \lambda & A_{n2} \lambda & \cdots & A_{nm} \lambda \\
\end{pmatrix}\,.

Piemērs ar reāli skaitli un matricu:

 \lambda = 2, \quad \mathbf{A} =\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}
 2 \mathbf{A} = 2 \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \!\cdot\! a & 2 \!\cdot\! b \\
2 \!\cdot\! c & 2 \!\cdot\! d \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a \!\cdot\! 2 & b \!\cdot\! 2 \\
c \!\cdot\! 2 & d \!\cdot\! 2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d \\
\end{pmatrix}2= \mathbf{A}2.

Divu matricu reizināšana[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Matrix multiplication row column correspondance.svg

Ja A ir n × m matrica un B ir m × p matrica,

\mathbf{A}=\begin{pmatrix}
 A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1m} \\
 A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 A_{n1} & A_{n2} & \cdots & A_{nm} \\
\end{pmatrix},\quad\mathbf{B}=\begin{pmatrix}
 B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1p} \\
 B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 B_{m1} & B_{m2} & \cdots & B_{mp} \\
\end{pmatrix}

tad matricu reizinājums AB (kas tiek apzīmēts bez kaut kādām reizinājuma zīmēm vai punktiem) ir n × p matrica[1][2][3][4]

\mathbf{A}\mathbf{B} =\begin{pmatrix}
 \left(\mathbf{AB}\right)_{11} & \left(\mathbf{AB}\right)_{12} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{1p} \\
 \left(\mathbf{AB}\right)_{21} & \left(\mathbf{AB}\right)_{22} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{2p} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 \left(\mathbf{AB}\right)_{n1} & \left(\mathbf{AB}\right)_{n2} & \cdots & \left(\mathbf{AB}\right)_{np} \\
\end{pmatrix}

kur katrs i, j loceklis ir iegūts, reizinot Aik elementu ar Bkj elementu, kur k = 1, 2, ..., m un tiek saskaitīti rezultāti līdz k:

 (\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij} = \sum_{k=1}^m A_{ik}B_{kj}\,.

Tas nozīmē, ka reizinājums AB ir definēts, ja kolonnu skaits A matricā sakrīt ar rindu skaitu B matricā. Reizinājuma rezultāta matricā rindu skaits ir vienāds ar A rindu skaitu, savukārt kolonnu skaits — ar B kolonnu skaitu.

Ilustrācija[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Matrix multiplication diagram 2.svg

\overset{4\times 2 \text{ matrica}}{\begin{bmatrix}
{\color{Brown}{a_{11}}} & {\color{Brown}{a_{12}}} \\
\cdot & \cdot \\
{\color{Orange}{a_{31}}} & {\color{Orange}{a_{32}}} \\
\cdot & \cdot \\
\end{bmatrix}}

\overset{2\times 3\text{ matrica}}{\begin{bmatrix}
\cdot & {\color{Plum}{b_{12}}} & {\color{Violet}{b_{13}}} \\
\cdot & {\color{Plum}{b_{22}}} & {\color{Violet}{b_{23}}} \\
\end{bmatrix}}

= \overset{4\times 3\text{ matrica}}{\begin{bmatrix}
\cdot & x_{12} & x_{13} \\
\cdot & \cdot & \cdot \\
\cdot & x_{32} & x_{33} \\
\cdot & \cdot & \cdot \\
\end{bmatrix}}

Vērtības krustpunktos ir iegūstamas ar šādām darbībām:

\begin{align}
x_{12} & = {\color{Brown}{a_{11}}}{\color{Plum}{b_{12}}} + {\color{Brown}{a_{12}}}{\color{Plum}{b_{22}}} \\
x_{13} & = {\color{Brown}{a_{11}}}{\color{Violet}{b_{13}}} + {\color{Brown}{a_{12}}}{\color{Violet}{b_{23}}} \\
x_{32} & = {\color{Orange}{a_{31}}}{\color{Plum}{b_{12}}} + {\color{Orange}{a_{32}}}{\color{Plum}{b_{22}}} \\
x_{33} & = {\color{Orange}{a_{31}}}{\color{Violet}{b_{13}}} + {\color{Orange}{a_{32}}}{\color{Violet}{b_{23}}} 
\end{align}

Matricu reizināšanas piemēri[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Rindas matrica un kolonnas matrica

Ja

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\,,

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = ax + by + cz \,,

un

\mathbf{BA} = \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
xa & xb & xc \\
ya & yb & yc \\
za & zb & zc
\end{pmatrix} \,.

Jāievēro, ka AB un BA ir divas dažādas matricas. Pirmā ir 1 × 1 matrica, bet otrā — 3 × 3 matrica.

Kvadrātiska matrica un kolonnas matrica

Ja

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\,,

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 
ax + by + cz \\
px + qy + rz \\
ux + vy + wz
\end{pmatrix}\,,

savukārt BA nav definēts.

Kvadrātiskas matricas

Ja

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix}\,,

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

\mathbf{AB} = \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 
a\alpha + b\lambda + c\rho & a\beta + b\mu + c\sigma & a\gamma + b\nu + c\tau \\
p\alpha + q\lambda + r\rho & p\beta + q\mu + r\sigma & p\gamma + q\nu + r\tau \\
u\alpha + v\lambda + w\rho & u\beta + v\mu + w\sigma & u\gamma + v\nu + w\tau
\end{pmatrix}\,,

un

\mathbf{BA} = \begin{pmatrix} 
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
p & q & r \\
u & v & w
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 
\alpha a + \beta p + \gamma u & \alpha b + \beta q + \gamma v & \alpha c + \beta r + \gamma w \\
\lambda a + \mu p + \nu u & \lambda b + \mu q + \nu v & \lambda c + \mu r + \nu w \\
\rho a + \sigma p + \tau u & \rho b + \sigma q + \tau v & \rho c + \sigma r + \tau w 
\end{pmatrix}\,.
Rindas matrica, kvadrātiska matrica un kolonnas matrica

Ja

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{C} = \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\,,

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

\begin{align}
\mathbf{ABC} & = \begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix} \left[\begin{pmatrix} 
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \right] = \left[ \begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
\alpha & \beta & \gamma \\
\lambda & \mu & \nu \\
\rho & \sigma & \tau \\
\end{pmatrix} \right] \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix} 
a & b & c
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
\alpha x + \beta y + \gamma z \\
\lambda x + \mu y + \nu z \\
\rho x + \sigma y + \tau z \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 
a\alpha + b\lambda + c\rho & a\beta + b\mu + c\sigma & a\gamma + b\nu + c\tau
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}\\
& = a\alpha x + b\lambda x + c\rho x + a\beta y + b\mu y + c\sigma y + a\gamma z + b\nu z + c\tau z \,,\end{align}

CBA nav definēts. Jāievēro, ka A(BC) = (AB)C, kas ir viena no matricu reizināšanas īpašībām.

Taisnstūrveida matricas

Ja

\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
x & y & z
\end{pmatrix}\,, \quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 
\alpha & \rho \\
\beta & \sigma \\
\gamma & \tau \\
\end{pmatrix}\,,

tad matricu reizināšanas rezultāts ir:

\mathbf{A}\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 
a & b & c \\
x & y & z
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 
\alpha & \rho \\
\beta & \sigma \\
\gamma & \tau \\
\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} 
a\alpha + b\beta + c \gamma & a\rho + b\sigma + c \tau \\
x\alpha + y\beta + z \gamma & x\rho + y\sigma + z \tau \\
\end{pmatrix} 
\,,

un

\mathbf{B}\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 
\alpha & \rho \\
\beta & \sigma \\
\gamma & \tau \\
\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 
a & b & c \\
x & y & z
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix} 
\alpha a + \rho x & \alpha b + \rho y & \alpha c + \rho z \\
\beta a + \sigma x & \beta b + \sigma y & \beta c + \sigma z \\
\gamma a + \tau x & \gamma b + \tau y & \gamma c + \tau z
\end{pmatrix} 
\,.

Komutativitāte[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Piemērs, kas parāda, ka matricu reizināšana nav komutatīva.


  A = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr), \,
  B = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr),


\begin{align}
  A \cdot B &= \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot
               \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr)
             = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr), \\
  B \cdot A &= \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix} \bigr) \cdot
               \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr)
             = \bigl( \begin{smallmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{smallmatrix} \bigr).
\end{align}

Atsauces[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. S. Lipcshutz, M. Lipson (2009). Linear Algebra. Schaum's Outlines (4th izd.). McGraw Hill (USA). 30–31. lpp. ISBN 978-0-07-154352-1.
  2. K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
  3. R. A. Adams (1995). Calculus, A Complete Course (3rd izd.). Addison Wesley. 627. lpp. ISBN 0 201 82823 5.
  4. Horn, Johnson (2013). Matrix Analysis (2nd izd.). Cambridge University Press. 6. lpp. ISBN 978 0 521 54823 6.

Ārējās saites[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]