Kāpināšana

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Kāpināšana ir matemātiska operācija, kas atbilst lieluma atkārtotai reizināšanai ar sevi. Kāpināšanu parasti pieraksta kā an, kur a ir kāpināmais, n ir kāpinātājs, bet iegūtais rezultāts — pakāpe. Izteiksmi an lasa kā "a pakāpē n".

Pakāpes ar veselu kāpinātāju[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pozitīvs kāpinātājs[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja kāpinātājs n ir naturāls skaitlis (vesels, pozitīvs skaitlis), tad izteiksme an atbilst skaitļa a atkārtotai reizināšanai ar sevi n reižu:

 a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ reizes}}.

Tas ir analoģiski tam, kā reizinājums a·n atbilst skaitļa a saskaitīšanai ar sevi n reižu:

 a \cdot n = \underbrace{a + a + \ldots + a}_{n\text{ reizes}}.

Mazām pakāpēm n ir atvēlēti īpaši nosaukumi:

  • Ja n = 2, tad izteiksmi a2 = a·a sauc par lieluma a kvadrātu, jo pēc šādas formulas aprēķina kvadrāta laukumu;
  • Ja n = 3, tad izteiksmi a3 = a·a·a sauc par lieluma a kubu, jo pēc šādas formulas aprēķina kuba tilpumu.

Negatīvs kāpinātājs[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kāpinot doto lielumu pakāpē −1, iegūst tā apgriezto lielumu:

 a^{-1} = \frac{1}{a}.

Vispārīgā gadījumā, lai aprēķinātu dotā lieluma negatīvu pakāpi, skaitli 1 dala ar atbilstošu lieluma pozitīvo pakāpi:

 a^{-n} = \frac{1}{a^n}.
Kāpināšana mazās pakāpēs
n an
0 a0 = 1
1 a1 = a
2 a2 = a·a
3 a3 = a·a·a

Kāpinātāji 0 un 1[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lieluma a kāpināšana pakāpē 1 atbilst reizinājumam, kurā a ietilpst tieši vienu reizi, tāpēc rezultāts ir vienāds ar a:

 a^1 = a. \,

Ja jebkuru skaitli, kas atšķirīgs no nulles, kāpina pakāpē 0, tad iegūst skaitli 1:

 a^0 = 1. \,

Savukārt nulli nulltajā pakāpē nevar kāpināt (izteiksme 00 ir nenoteiktība).

Pakāpes ar daļveida kāpinātāju[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kāpinātājs var būt arī racionāls skaitlis, piemēram, izteiksmi

 a^{1/2} = \sqrt{a}

sauc par kvadrātsakni no a. Kāpināšana pakāpē 1/n, kur n ir naturāls skaitlis, atbilst n-tās pakāpes saknes vilkšanai:

 a^{1/n} = \sqrt[n]{a}.

Vispārīgā gadījumā, ja pozitīvu skaitli a kāpina racionālā pakāpē m/n, kur m ir vesels skaitlis un n ir vesels, pozitīvs skaitlis, tad iegūst

 a^{m/n} = \left(a^m\right)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}.

Ja a ir negatīvs, tad šo formulu var lietot tikai tad, ja m ir pāra skaitlis.

Pakāpju īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Reizinot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju summu:

 a^m \cdot a^n = a^{m + n}.

Līdzīgā kārtā, dalot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju starpību:

 \frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}.

Kāpināšana ir distributīva pār reizināšanu:

 (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n.

Atkārtotu kāpināšanu var aizstāt ar kāpināšanu pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju reizinājumu:

 (a^m)^n = a^{m \cdot n},

taču kāpināšana nav asociatīva:

 (a^n)^m \ne a^\left({n^m}\right).

Apgrieztā darbība[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Tāpat kā saskaitīšanai pretējā darbība ir atņemšana un reizināšanai pretējā darbība ir dalīšana, kāpināšanai pretējā darbība ir logaritmēšana (ja grib atgūt kāpinātāju) un saknes vilkšana (ja grib atgūt kāpināmo).

Kāpināšanas tabula[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
3 9 27 81 243 729 2187 6561 19 683 59 049
4 16 64 256 1024 4096 16 384 65 536 262 144 1 048 576
5 25 125 625 3125 15 625 78 125 390 625 1 953 125 9 765 625
6 36 216 1296 7776 46 656 279 936 1 679 616 10 077 696 60 466 176
7 49 343 2401 16 807 117 649 823 543 5 764 801 40 353 607 282 475 249
8 64 512 4096 32 768 262 144 2 097 152 16 777 216 134 217 728 1 073 741 824
9 81 729 6561 59 049 531 441 4 782 969 43 046 721 387 420 489 3 486 784 401
10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 100 000 000 1 000 000 000 10 000 000 000

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]