Kāpināšana

Kāpināšana ir matemātiska operācija, kas atbilst lieluma atkārtotai reizināšanai ar sevi. Kāpināšanu parasti pieraksta kā aⁿ, kur a ir kāpināmais, n ir kāpinātājs, bet iegūtais rezultāts — pakāpe. Izteiksmi aⁿ lasa kā "a pakāpē n".

Pakāpes ar veselu kāpinātāju

Pozitīvs kāpinātājs

Ja kāpinātājs n ir naturāls skaitlis (vesels, pozitīvs skaitlis), tad izteiksme aⁿ atbilst skaitļa a atkārtotai reizināšanai ar sevi n reižu:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ reizes}}.$

Tas ir analoģiski tam, kā reizinājums a·n atbilst skaitļa a saskaitīšanai ar sevi n reižu:

$a \cdot n = \underbrace{a + a + \ldots + a}_{n\text{ reizes}}.$

Mazām pakāpēm n ir atvēlēti īpaši nosaukumi:

• Ja n = 2, tad izteiksmi a² = a·a sauc par lieluma $a$ kvadrātu, jo pēc šādas formulas aprēķina kvadrāta laukumu;
• Ja n = 3, tad izteiksmi a³ = a·a·a sauc par lieluma a kubu, jo pēc šādas formulas aprēķina kuba tilpumu.

Negatīvs kāpinātājs

Kāpinot doto lielumu pakāpē −1, iegūst tā apgriezto lielumu:

$a^{-1} = \frac{1}{a}.$

Vispārīgā gadījumā, lai aprēķinātu dotā lieluma negatīvu pakāpi, skaitli 1 dala ar atbilstošu lieluma pozitīvo pakāpi:

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}.$

Kāpināšana mazās pakāpēs

n	an
0	a0 = 1
1	a1 = a
2	a2 = a·a
3	a3 = a·a·a

Kāpinātāji 0 un 1

Lieluma a kāpināšana pakāpē 1 atbilst reizinājumam, kurā a ietilpst tieši vienu reizi, tāpēc rezultāts ir vienāds ar a:

$a^1 = a. \,$

Ja jebkuru skaitli, kas atšķirīgs no nulles, kāpina pakāpē 0, tad iegūst skaitli 1:

$a^0 = 1. \,$

Savukārt nulli nulltajā pakāpē nevar kāpināt (izteiksme 0⁰ nav definēta).

Pakāpes ar daļveida kāpinātāju

Kāpinātājs var būt arī racionāls skaitlis, piemēram, izteiksmi

$a^{1/2} = \sqrt{a}$

sauc par kvadrātsakni no a. Kāpināšana pakāpē 1/n, kur n ir naturāls skaitlis, atbilst n-tās pakāpes saknes vilkšanai:

$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}.$

Vispārīgā gadījumā, ja pozitīvu skaitli a kāpina racionālā pakāpē m/n, kur m ir vesels skaitlis un n ir vesels, pozitīvs skaitlis, tad iegūst

$a^{m/n} = \left(a^m\right)^{1/n} = \sqrt[n]{a^m}.$

Ja a ir negatīvs, tad šo formulu var lietot tikai tad, ja m ir pāra skaitlis.

Pakāpju īpašības

Reizinot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju summu:

$a^m \cdot a^n = a^{m + n}.$

Līdzīgā kārtā, dalot divas pakāpes ar vienādiem kāpināmajiem, iegūst to pašu, ko kāpinot pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju starpību:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}.$

Kāpināšana ir distributīva pār reizināšanu:

$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n.$

Atkārtotu kāpināšanu var aizstāt ar kāpināšanu pakāpē, kas vienāda ar kāpinātāju reizinājumu:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n},$

taču kāpināšana nav asociatīva:

$(a^n)^m \ne a^\left({n^m}\right).$

Apgrieztā darbība

Tāpat kā saskaitīšanai pretējā darbība ir atņemšana un reizināšanai pretējā darbība ir dalīšana, kāpināšanai pretējā darbība ir logaritmēšana (ja grib atgūt kāpinātāju) un saknes vilkšana (ja grib atgūt kāpināmo).

Skatīt arī

• Kvadrāts (algebra)
• Kubs (algebra)
• Kvadrātsakne
• Kubsakne
• Saknes vilkšana
• Logaritms

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Exponentiation, MathWorld.
• Exponential, PlanetMath.
• Eric W. Weisstein, Complex Exponentiation, MathWorld.
• Introducing 0th power, PlanetMath.
• Exponentiation, answermath.com.
• Exponents Calculator (pakāpju kalkulators).