Kvadrātiskas, nesingulāras matricas
apgrieztā matrica jeb inversā matrica ir tāda matrica, kuru reizinot ar matricu
, iegūst vienības matricu:
kur
ir matricas
determinants un
ir algebriskais papildinājums matricas minoram
:
.
Šī formula rāda, ka iegūt apgriezto matricu (jeb, citiem vārdiem, invertēt doto matricu) ir iespējams tikai tad, ja matricas determinants nav vienāds nullei. Šo kritēriju izmanto matricas apgriežamības pārbaudei.
Pieņemam, ka esam atraduši matricas
līdz
, kuras secīgi piereizinot matricai
, iegūstam vienības matricu
:
Tādā gadījumā viegli redzēt, ka varam izteikt apgriezto matricu kā
matricu reizinājumu:
Līdz ar to apgriezto matricu ir iespējams meklēt kā matricu
reizinājumu, ko savukārt var atrast, pārveidojot matricu
par vienības matricu
— pēc Gausa metodes.
Šim nolūkam saraksta kopā matricu
un vienības matricu
un ar matricu
veic elementāros matricu pārveidojumus, lai pārveidotu to par
. Tos pašus pārveidojumus paralēli veic arī ar matricu
. Brīdī, kad kreisajā pusē esam ieguvuši vienības matricu, labajā pusē ir redzama matricas
apgrieztā:
Dota matrica
(1) pārveidojumā 3. rindiņa tika pareizināta ar
un pieskaitīta 2. rindiņai; 3. rindiņa tika pareizināta ar
un pieskaitīta 1. rindiņai.
(2) pārveidojumā 2. rindiņa tika pareizināta ar
un pieskaitīta 1. rindiņai.
Rezultātā esam ieguvuši apgriezto matricu