Apgrieztā matrica

Kvadrātiskas, nesingulāras matricas $A$$A$ apgrieztā matrica jeb inversā matrica ir tāda matrica, kuru reizinot ar matricu $A$$A$, iegūst vienības matricu:

$A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E$$A^{-1}\cdot A=A\cdot A^{-1}=E$

Paņēmieni apgrieztās matricas iegūšanai

Izmantojot minorus

$A^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {A_{11}}{d}}&{\frac {A_{21}}{d}}&\cdots &{\frac {A_{n1}}{d}}\\{\frac {A_{12}}{d}}&{\frac {A_{22}}{d}}&\cdots &{\frac {A_{n2}}{d}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\frac {A_{1n}}{d}}&{\frac {A_{2n}}{d}}&\cdots &{\frac {A_{nn}}{d}}\end{pmatrix}}$$A^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {A_{11}}{d}}&{\frac {A_{21}}{d}}&\cdots &{\frac {A_{n1}}{d}}\\{\frac {A_{12}}{d}}&{\frac {A_{22}}{d}}&\cdots &{\frac {A_{n2}}{d}}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\{\frac {A_{1n}}{d}}&{\frac {A_{2n}}{d}}&\cdots &{\frac {A_{nn}}{d}}\end{pmatrix}}$

kur $d$$d$ ir matricas $A$$A$ determinants un $A_{ij}$$A_{ij}$ ir algebriskais papildinājums matricas minoram $M_{ij}=\left|a_{ij}\right|$$M_{ij}=\left|a_{ij}\right|$:
$A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}$$A_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot M_{ij}$.

Šī formula rāda, ka iegūt apgriezto matricu (jeb, citiem vārdiem, invertēt doto matricu) ir iespējams tikai tad, ja matricas determinants nav vienāds nullei. Šo kritēriju izmanto matricas apgriežamības pārbaudei.

Izmantojot Gausa metodi

Pieņemam, ka esam atraduši matricas $T_{1}$$T_{1}$ līdz $T_{n}$$T_{n}$, kuras secīgi piereizinot matricai $A$$A$, iegūstam vienības matricu $E$$E$:

$T_{n}\cdot \ldots \cdot \ T_{2}\cdot T_{1}\cdot A=E$$T_{n}\cdot \ldots \cdot \ T_{2}\cdot T_{1}\cdot A=E$

Tādā gadījumā viegli redzēt, ka varam izteikt apgriezto matricu kā $T_{i}$$T_{i}$ matricu reizinājumu:

$A^{-1}=T_{n}\cdot \ldots \cdot T_{2}\cdot T_{1}(\cdot E)$$A^{-1}=T_{n}\cdot \ldots \cdot T_{2}\cdot T_{1}(\cdot E)$

Līdz ar to apgriezto matricu ir iespējams meklēt kā matricu $T_{i}$$T_{i}$ reizinājumu, ko savukārt var atrast, pārveidojot matricu $A$$A$ par vienības matricu $E$$E$ — pēc Gausa metodes.

Šim nolūkam saraksta kopā matricu $A$$A$ un vienības matricu $E$$E$ un ar matricu $A$$A$ veic elementāros matricu pārveidojumus, lai pārveidotu to par $E$$E$. Tos pašus pārveidojumus paralēli veic arī ar matricu $E$$E$. Brīdī, kad kreisajā pusē esam ieguvuši vienības matricu, labajā pusē ir redzama matricas $A$$A$ apgrieztā:

$(A|E)\sim \ldots \sim (E|A^{-1})$$(A|E)\sim \ldots \sim (E|A^{-1})$

Piemērs

Dota matrica $A={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$$A={\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&1\end{pmatrix}}$

$\left({\begin{matrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)(1)\sim \left({\begin{matrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}1&0&-3\\0&1&-1\\0&0&1\end{matrix}}\right)(2)\sim \left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}1&-2&-1\\0&1&-1\\0&0&1\end{matrix}}\right)$$\left({\begin{matrix}1&2&3\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)(1)\sim \left({\begin{matrix}1&2&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}1&0&-3\\0&1&-1\\0&0&1\end{matrix}}\right)(2)\sim \left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}1&-2&-1\\0&1&-1\\0&0&1\end{matrix}}\right)$

(1) pārveidojumā 3. rindiņa tika pareizināta ar $-1$$-1$ un pieskaitīta 2. rindiņai; 3. rindiņa tika pareizināta ar $-3$$-3$ un pieskaitīta 1. rindiņai.
(2) pārveidojumā 2. rindiņa tika pareizināta ar $-2$$-2$ un pieskaitīta 1. rindiņai.

Rezultātā esam ieguvuši apgriezto matricu $A^{-1}={\begin{pmatrix}1&-2&-1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}$$A^{-1}={\begin{pmatrix}1&-2&-1\\0&1&-1\\0&0&1\end{pmatrix}}$