Apgrieztā matrica

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Kvadrātiskas, nesingulāras matricas apgrieztā matrica jeb inversā matrica ir tāda matrica, kuru reizinot ar matricu , iegūst vienības matricu:

Paņēmieni apgrieztās matricas iegūšanai[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Izmantojot minorus[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

kur ir matricas determinants un ir algebriskais papildinājums matricas minoram :
.

Šī formula rāda, ka iegūt apgriezto matricu (jeb, citiem vārdiem, invertēt doto matricu) ir iespējams tikai tad, ja matricas determinants nav vienāds nullei. Šo kritēriju izmanto matricas apgriežamības pārbaudei.

Izmantojot Gausa metodi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pieņemam, ka esam atraduši matricas līdz , kuras secīgi piereizinot matricai , iegūstam vienības matricu :

Tādā gadījumā viegli redzēt, ka varam izteikt apgriezto matricu kā matricu reizinājumu:

Līdz ar to apgriezto matricu ir iespējams meklēt kā matricu reizinājumu, ko savukārt var atrast, pārveidojot matricu par vienības matricu — pēc Gausa metodes.

Šim nolūkam saraksta kopā matricu un vienības matricu un ar matricu veic elementāros matricu pārveidojumus, lai pārveidotu to par . Tos pašus pārveidojumus paralēli veic arī ar matricu . Brīdī, kad kreisajā pusē esam ieguvuši vienības matricu, labajā pusē ir redzama matricas apgrieztā:

Piemērs[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Dota matrica

(1) pārveidojumā 3. rindiņa tika pareizināta ar un pieskaitīta 2. rindiņai; 3. rindiņa tika pareizināta ar un pieskaitīta 1. rindiņai.
(2) pārveidojumā 2. rindiņa tika pareizināta ar un pieskaitīta 1. rindiņai.

Rezultātā esam ieguvuši apgriezto matricu