Vektoriālais reizinājums

Vektoriālais reizinājums labējā bāzē.

Matemātikā vektoriālais reizinājums ir bināra operācija, kas diviem trīsdimensiju Eiklīda telpā esošiem vektoriem piekārto vektoru, kas perpendikulārs dotajiem vektoriem un kura garums vienāds ar sākotnējo vektoru veidotā paralelograma laukumu.

Vektoriālo reizinājumu no diviem vektoriem ir iespējams definēt tikai trīs un septiņās dimensijās.

Definīcija

Lai noteiktu iegūtā vektora virzienu, izmanto labās rokas likumu.

Par trīsdimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru ${\vec {a}}$ un ${\vec {b}}$ vektoriālo reizinājumu sauc tādu vektoru ${\vec {c}}$, ka

• ${\vec {a}}\perp {\vec {c}}$ un ${\vec {b}}\perp {\vec {c}}$,
• $|\,{\vec {c}}\,|=|\,{\vec {a}}\,|\,|\,{\vec {b}}\,|\sin \theta$, kur θ ir leņķis starp vektoriem ${\vec {a}}$ un ${\vec {b}}$,
• vektors ${\vec {c}}$ ir orientēts tā, ka trijnieks $({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})$ veido labēju bāzi.

Vektoriālā reizinājuma darbību apzīmē ar "×", piemēram, ${\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}$.

Aprēķināšanas metodes

Pa tiešo

Ja ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ un ${\vec {b}}=(b_{1},b_{2},b_{3})$, tad

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2},a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3},a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}).$

Ar determinanta palīdzību

Vektoriālo reizinājumu var aprēķināt ar formāla determinanta palīdzību:

${\begin{aligned}{\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}&={\vec {e}}_{1}\;{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}-{\vec {e}}_{2}\;{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}+{\vec {e}}_{3}\;{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\\&={\vec {e}}_{1}(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})+{\vec {e}}_{2}(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})+{\vec {e}}_{3}(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}),\end{aligned}}$

kur ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}$ ir vienības vektori, kas vērsti koordinātu asu virzienos.
Determinanta aprēķināšanu 3×3 matricai atvieglo Sarrusa metode.

Ar matricu palīdzību

Ja ${\vec {c}}={\vec {a}}\times {\vec {b}}$, tad

${\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}.$

Ar summas palīdzību

Vektoriālā reizinājuma i-to komponenti var aprēķināt šādi:

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},$

kur $\varepsilon _{ijk}$ ir Levi-Čivita simbols. Ja katru no komponentēm sareizina ar attiecīgo bāzes vektoru un saskaita kopā, tad iegūst

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}_{i}a_{j}b_{k}.$

Sakarības

Vektoriālais reizinājums ir antikomutatīvs:

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}.$

No tā izriet, ka

${\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}.$

Divkāršā vektoriālā reizinājuma formula (viegli atcerēties kā "BAC mīnus CAB"):

$({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}={\vec {b}}\,({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-{\vec {c}}\,({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}).$

Vektoriālais reizinājums nav asociatīvs, taču tas apmierina Jakobi sakarību

${\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})+{\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}})+{\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=0.$

Skatīt arī

• Skalārais reizinājums
• Jauktais reizinājums
• Pseidoskalārais reizinājums