Vektoriālais reizinājums

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Vektoriālais reizinājums labējā bāzē.

Matemātikā vektoriālais reizinājums ir bināra operācija, kas diviem trīsdimensiju Eiklīda telpā esošiem vektoriem piekārto vektoru, kas perpendikulārs dotajiem vektoriem un kura garums vienāds ar sākotnējo vektoru veidotā paralelograma laukumu.

Vektoriālo reizinājumu no diviem vektoriem ir iespējams definēt tikai trīs un septiņās dimensijās.[1]

Definīcija[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lai noteiktu iegūtā vektora virzienu, izmanto labās rokas likumu.

Par trīsdimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru \vec{a} un \vec{b} vektoriālo reizinājumu sauc tādu vektoru \vec{c}, ka

  • \vec{a} \perp \vec{c} un \vec{b} \perp \vec{c},
  • |\, \vec{c} \,| = |\, \vec{a} \,| \, |\, \vec{b} \,| \sin \theta, kur θ ir leņķis starp vektoriem \vec{a} un \vec{b},
  • vektors \vec{c} ir orientēts tā, ka trijnieks (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) veido labēju bāzi.

Vektoriālā reizinājuma darbību apzīmē ar "×", piemēram, \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}.

Aprēķināšanas metodes[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pa tiešo[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja \vec{a} = (a_1, a_2, a_3) un \vec{b} = (b_1, b_2, b_3), tad


  \vec{a} \times \vec{b} =
  (a_2 b_3 - a_3 b_2,
   a_3 b_1 - a_1 b_3,
   a_1 b_2 - a_2 b_1).

Ar determinanta palīdzību[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vektoriālo reizinājumu var aprēķināt ar formāla determinanta palīdzību:


\begin{align}
  \vec{a} \times \vec{b} =
  \begin{vmatrix}
    \vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \vec{e}_3 \\
    a_1 & a_2 & a_3 \\
    b_1 & b_2 & b_3 \\
  \end{vmatrix}
  &= \vec{e}_1 \; \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix}
   - \vec{e}_2 \; \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix}
   + \vec{e}_3 \; \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} \\
  &= \vec{e}_1 (a_2 b_3 - a_3 b_2)
   + \vec{e}_2 (a_3 b_1 - a_1 b_3)
   + \vec{e}_3 (a_1 b_2 - a_2 b_1),
\end{align}

kur \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 ir vienības vektori, kas vērsti koordinātu asu virzienos.
Determinanta aprēķināšanu 3×3 matricai atvieglo Sarrusa metode.

Ar matricu palīdzību[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}, tad


  \begin{pmatrix}
    c_1 \\ c_2 \\ c_3
  \end{pmatrix} =
  \begin{pmatrix}
    0   & -a_3 &  a_2 \\
    a_3 &  0   & -a_1 \\
   -a_2 &  a_1 &  0
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    b_1 \\ b_2 \\ b_3
  \end{pmatrix}.

Ar summas palīdzību[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vektoriālā reizinājuma i-to komponenti var aprēķināt šādi:


  (\vec{a} \times \vec{b})_i =
  \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} a_j b_k,

kur \varepsilon_{ijk} ir Levi-Čivita simbols. Ja katru no komponentēm sareizina ar attiecīgo bāzes vektoru un saskaita kopā, tad iegūst


  \vec{a} \times \vec{b} =
  \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \sum_{k=1}^3 \varepsilon_{ijk} \vec{e}_i a_j b_k.

Sakarības[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vektoriālais reizinājums ir antikomutatīvs:

 \vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}.

No tā izriet, ka

 \vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}.

Divkāršā vektoriālā reizinājuma formula (viegli atcerēties kā "BAC mīnus CAB"):


  (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}
  = \vec{b} \, (\vec{a} \cdot \vec{c})
  - \vec{c} \, (\vec{a} \cdot \vec{b}).

Vektoriālais reizinājums nav asociatīvs, taču tas apmierina Jakobi sakarību


  \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) +
  \vec{b} \times (\vec{c} \times \vec{a}) +
  \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b}) = 0.

Skatīt arī[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Atsauces[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Silagadze, Zurab K. (30.04.2002.). Multi-dimensional vector product. arΧiv:math.RA/0204357..