Cikloīda

Cikloīda ir līnija, ko apraksta kāds fiksēts riņķa līnijas punkts, ja riņķa līnija bez slīdes ripo pa taisni. Cikloīda ar spicumiem uz augšu ir līnija, pa kuru slīdot homogēnā gravitācijas laukā bez berzes var nonākt visātrāk no punkta A uz punktu B (šādu līniju sauc par brahistohronu). Cikloīda ir arī tāda līnija, uz kuras, ja visi objekti atrodas augstāk par beigu punktu, tie nonāks galā vienādā laikā (tautohrona līnija).

Četras bumbiņas sāk dažādos augstumos uz cikloīdas, bet nonāk galā vienlaidīgi. Zilā bultiņa norāda paātrinājumu pa līniju.

Vienādojums

Līkne cikloīda, kas iet caur koordinātu sākumpunktu un ko ģenerē riņķa līnija ar rādiusu r, ir visu to punktu kopa (x, y), kuriem

x=r(t-\sin t)\,

y=r(1-\cos t)\,

kur t ir reāls parametrs, kas atbilst leņķim, par ko pagriezusies ripojošā riņķa līnija, kas mērīts radiānos. Dotam t, riņķa līnijas centrs atrodas punktā x = rt, y = r.

Iespējams tikt vaļā no parametra t izsakot to no y vienādojuma un ievietojot x vienādojumā:

$x=r\cos ^{-1}{(1-{\frac {y}{r}})}-{\sqrt {y(2r-y)}}$

tiekot vaļā no $\cos ^{-1}$ :

$r\cos {({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}})}+y=r$

Laukums

Izmantojot doto parametrizāciju $x=r(t-\sin t)\,,\ y=r(1-\cos t)$ , laukumu zem vienas arkas, $0\leq t\leq 2\pi$ , var iegūt:

$S=\int _{x=0}^{2\pi r}ydx=\int _{t=0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos {t})^{2}dt=\int _{t=0}^{2\pi }(r^{2}-2r^{2}\cos {t}+{\frac {r^{2}}{2}}+{\frac {\cos({2t})}{2}})dt=3\pi r^{2}$

Arkas garums

Arkas garumu var iegūt pēc:

$L=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {({\frac {dx}{dt}})^{2}+({\frac {dy}{dt}})^{2}}}dt=\int _{0}^{2\pi }r{\sqrt {2-2\cos {t}}}\ dt=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\ dt=8r$ ^[1]