Kvadrātvienādojums

Kvadrātvienādojums ir otrās pakāpes vienādojums, kura vispārīgais veids ir

ax^{2}+bx+c=0,\,

kur $x$ ir nezināmais un $a$ ≠ 0. Izteiksmi $ax^{2}+bx+c$ sauc par kvadrāttrinomu. No algebras pamatteorēmas seko, ka kvadrātvienādojumam ir tieši divas saknes (šīs saknes var būt vienādas).

Kvadrātvienādojuma saknes

Kvadrātvienādojuma $ax^{2}+bx+c=0$ saknes $x_{1}$ un $x_{2}$ var aprēķināt pēc formulas

x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}

jeb (izvērstā veidā)

x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},\quad \quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.

Lietot var arī - $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}$

Kvadrātvienādojuma diskriminants

Lielumu

D=b^{2}-4ac\,

sauc par kvadrātvienādojuma $ax^{2}+bx+c=0$ diskriminantu. Šis skaitlis nosaka kvadrātvienādojuma sakņu veidu:

ja $D>0$ , tad kvadrātvienādojumam ir divas dažādas reālas saknes;
ja $D=0$ , tad kvadrātvienādojumam ir divkārša sakne, kuru aprēķina pēc formulas $x=-b/2a$ ;
ja $D<0$ , tad kvadrātvienādojumam ir divas kompleksi saistītas saknes.

Kvadrāttrinoma sadalīšana reizinātājos

Ja ir zināmas kvadrātvienādojuma $ax^{2}+bx+c=0$ saknes $x_{1}$ un $x_{2}$ , tad attiecīgo kvadrāttrinomu $ax^{2}+bx+c$ var sadalīt reizinātājos:

ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).\,

Vjeta teorēma

Ja $x_{1}$ un $x_{2}$ ir kvadrātvienādojuma $x^{2}+px+q=0$ saknes, tad to summa ir vienāda ar koeficientu $p$ , kurš ņemts ar pretēju zīmi, bet sakņu reizinājums ir vienāds ar $q$ :

x_{1}+x_{2}=-p,\quad \quad x_{1}x_{2}=q.

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā $ax^{2}+bx+c=0$ , kur $a$ ≠ 0, un $x_{1}$ un $x_{2}$ ir tā saknes, tad

x_{1}+x_{2}=-b/a,\quad \quad x_{1}x_{2}=c/a.

Šo apgalvojumu sauc par Vjeta teorēmu, jo to pirmais pierādīja franču matemātiķis Fransuā Vjets.

Vjeta teorēmas pierādījums

Ja $x_{1}$ un $x_{2}$ ir kvadrātvienādojuma $x^{2}+px+q=0$ saknes, tad ir spēkā vienādība

(x-x_{1})(x-x_{2})=x^{2}+px+q.\,

Atverot iekavas, iegūstam

{\begin{aligned}(x-x_{1})(x-x_{2})&=x^{2}-x_{1}x-x_{2}x+x_{1}x_{2}\\&=x^{2}\underbrace {-(x_{1}+x_{2})} _{p}x+\underbrace {x_{1}x_{2}} _{q}.\end{aligned}}

Vispārīgā gadījumā, ja kvadrātvienādojums ir formā $ax^{2}+bx+c=0$ , kur $a$ ≠ 0, tad abas vienādojuma puses var izdalīt ar $a$ un iegūt kvadrātvienādojumu

x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.

Šis kvadrātvienādojums ir formā $x^{2}+px+q=0,$ kur $p=b/a$ un $q=c/a$ , tāpēc tam var pielietot augstāk aprakstīto vienkāršoto Vjeta teorēmas versiju. Rezultātā iegūst

x_{1}+x_{2}=-b/a,\quad \quad x_{1}x_{2}=c/a,

kur $x_{1}$ un $x_{2}$ ir vienādojuma $x^{2}+px+q=0$ saknes. Tā kā šis vienādojums ir ekvivalents sākotnējajam vienādojumam, tad $x_{1}$ un $x_{2}$ ir arī vienādojuma $ax^{2}+bx+c=0$ saknes.

Skatīt arī

Ārējās saites

Eric W. Weisstein, Quadratic Equation, MathWorld.
Quadratic formula Arhivēts 2009. gada 15. augustā, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
Quadratic equation in C Arhivēts 2010. gada 27. aprīlī, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
Derivation of quadratic formula Arhivēts 2008. gada 2. decembrī, Wayback Machine vietnē., PlanetMath.
Alexander Bogomolny, Graph and Roots of Quadratic Polynomial, cut-the-knot.org.
Chris Budd, Chris Sangwin, 101 uses of a quadratic equation Arhivēts 2007. gada 10. novembrī, Wayback Machine vietnē., 101 uses of a quadratic equation: Part II Arhivēts 2007. gada 22. oktobrī, Wayback Machine vietnē., Plus, 2004.