Apgrieztā matrica

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Kvadrātiskas, nesingulāras matricas A apgrieztā matrica jeb inversā matrica ir tāda matrica, kuru reizinot ar matricu A, iegūst vienības matricu:

A^{-1} \cdot A = A \cdot A^{-1} = E

Paņēmieni apgrieztās matricas iegūšanai[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Izmantojot minorus[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

A^{-1} = 
\begin{pmatrix}
\frac{A_{11}}{d} & \frac{A_{21}}{d} & \cdots & \frac{A_{n1}}{d} \\
\frac{A_{12}}{d} & \frac{A_{22}}{d} & \cdots & \frac{A_{n2}}{d} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\frac{A_{1n}}{d} & \frac{A_{2n}}{d} & \cdots & \frac{A_{nn}}{d}
\end{pmatrix}

kur d ir matricas A determinants un A_{ij} ir algebriskais papildinājums matricas minoram M_{ij} = \left | a_{ij}\right |:
A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}.

Šī formula rāda, ka iegūt apgriezto matricu (jeb, citiem vārdiem, invertēt doto matricu) ir iespējams tikai tad, ja matricas determinants nav vienāds nullei. Šo kritēriju izmanto matricas apgriežamības pārbaudei.

Izmantojot Gausa metodi[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pieņemam, ka esam atraduši matricas T_1 līdz T_n, kuras secīgi piereizinot matricai A, iegūstam vienības matricu E:

T_n \cdot \ldots \cdot\ T_2 \cdot T_1 \cdot A = E

Tādā gadījumā viegli redzēt, ka varam izteikt apgriezto matricu kā T_i matricu reizinājumu:

A^{-1} = T_n \cdot \ldots \cdot T_2 \cdot T_1 (\cdot E)

Līdz ar to apgriezto matricu ir iespējams meklēt kā matricu T_i reizinājumu, ko savukārt var atrast, pārveidojot matricu A par vienības matricu E — pēc Gausa metodes.

Šim nolūkam saraksta kopā matricu A un vienības matricu E un ar matricu A veic elementāros matricu pārveidojumus, lai pārveidotu to par E. Tos pašus pārveidojumus paralēli veic arī ar matricu E. Brīdī, kad kreisajā pusē esam ieguvuši vienības matricu, labajā pusē ir redzama matricas A apgrieztā:

(A | E) \sim \ldots \sim (E | A^{-1})

Piemērs[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Dota matrica 
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}


\left (
\begin{matrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right |
\left .
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right )

(1)\sim

\left (
\begin{matrix}
1 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right |
\left .
\begin{matrix}
1 & 0 & -3 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right )

(2)\sim

\left (
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right |
\left .
\begin{matrix}
1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right )

(1) pārveidojumā 3. rindiņa tika pareizināta ar -1 un pieskaitīta 2. rindiņai; 3. rindiņa tika pareizināta ar -3 un pieskaitīta 1. rindiņai.
(2) pārveidojumā 2. rindiņa tika pareizināta ar -2 un pieskaitīta 1. rindiņai.

Rezultātā esam ieguvuši apgriezto matricu 
A^{-1} = \begin{pmatrix}
1 & -2 & -1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}