Apgrieztā matrica

Kvadrātiskas, nesingulāras matricas $A$ apgrieztā matrica ir tāda matrica, kuru reizinot ar matricu $A$, iegūst vienības matricu:

$A^{-1} \cdot A = A \cdot A^{-1} = E$

Paņēmieni apgrieztās matricas iegūšanai

Izmantojot minorus

$A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{A_{11}}{d} & \frac{A_{21}}{d} & \cdots & \frac{A_{n1}}{d} \\ \frac{A_{12}}{d} & \frac{A_{22}}{d} & \cdots & \frac{A_{n2}}{d} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \frac{A_{1n}}{d} & \frac{A_{2n}}{d} & \cdots & \frac{A_{nn}}{d} \end{pmatrix}$

kur $d$ ir matricas $A$ determinants un $A_{ij}$ ir algebriskais papildinājums matricas minoram $M_{ij} = \left | a_{ij}\right |$:
$A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}$.

Izmantojot Gausa metodi

Pieņemam, ka esam atraduši matricas $T_1$ līdz $T_n$, kuras secīgi piereizinot matricai $A$, iegūstam vienības matricu $E$:

$T_n \cdot \ldots \cdot\ T_2 \cdot T_1 \cdot A = E$

Tādā gadījumā viegli redzēt, ka varam izteikt apgriezto matricu kā $T_i$ matricu reizinājumu:

$A^{-1} = T_n \cdot \ldots \cdot T_2 \cdot T_1 (\cdot E)$

Līdz ar to apgriezto matricu ir iespējams meklēt kā matricu $T_i$ reizinājumu, ko savukārt var atrast, pārveidojot matricu $A$ par vienības matricu $E$ — pēc Gausa metodes.

Šim nolūkam saraksta kopā matricu $A$ un vienības matricu $E$ un ar matricu $A$ veic elementāros matricu pārveidojumus, lai pārveidotu to par $E$. Tos pašus pārveidojumus paralēli veic arī ar matricu $E$. Brīdī, kad kreisajā pusē esam ieguvuši vienības matricu, labajā pusē ir redzama matricas $A$ apgrieztā:

$(A | E) \sim \ldots \sim (E | A^{-1})$

Piemērs

Dota matrica $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\left ( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | \left . \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ) (1)\sim \left ( \begin{matrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | \left . \begin{matrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right ) (2)\sim \left ( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right | \left . \begin{matrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right )$

(1) pārveidojumā 3. rindiņa tika pareizināta ar $-1$ un pieskaitīta 2. rindiņai; 3. rindiņa tika pareizināta ar $-3$ un pieskaitīta 1. rindiņai.
(2) pārveidojumā 2. rindiņa tika pareizināta ar $-2$ un pieskaitīta 1. rindiņai.

Rezultātā esam ieguvuši apgriezto matricu $A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$