Gausa izslēgšanas metode

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Gausa izslēgšanas metode (vienādojumu saskaitīšanas metode)[1] ir algoritms lineāru vienādojumu sistēmas atrisināšanai. Parasti tiek veikta operāciju virkne ar attiecīgās vienādojumu sistēmas koeficientu matricu. Ar šo metodi var arī atrast matricas rangu, izrēķināt matricas determinantu. Metode ir nosaukta vācu matemātiķa Kārļa Frīdriha Gausa vārdā, tomēr tā ir bijusi pazīstama ķīniešu matemātiķiem jau mūsu ēras 179. gadā.

Lai pielietotu Gausa izslēgšanas metodi, ar matricu ir jāveic dažādi elementāri pārveidojumi, lai iegūtu augšējo trijstūrveida matricu (zem galvenās diagonāles visi elementi ir nulles). Eksistē trīs veida pārveidojumi: 1) matricas divu rindu apmainīšana vietām; 2) matricas rindas locekļu reizināšana ar kādu no nulles atšķirīgu skaitli; 3) matricas rindas reizināšana ar kādu no nulles atšķirīgu skaitli un pieskaitīšana citai rindai.

Algoritma piemērs[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Jāatrod šādas lineāru vienādojumu sistēmas atrisinājums:

\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 8 & \qquad (L_1) \\
-3x &&\; - \;&& y             &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& -11 & \qquad (L_2) \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& -3 &  \qquad (L_3)
\end{alignat}
Vienādojumu sistēma Rindu operācijas Atbilstošā matrica
\begin{alignat}{7}
2x &&\; + \;&& y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 8 & \\
-3x &&\; - \;&& y             &&\; + \;&& 2z &&\; = \;&& -11 & \\
-2x &&\; + \;&& y &&\; +\;&& 2z  &&\; = \;&& -3 &
\end{alignat} 
\left[ \begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & -1 & 8 \\
-3 & -1 & 2 & -11 \\
-2 & 1 & 2 & -3
\end{array} \right]
\begin{alignat}{7}
2x &&\; + && y &&\; - &&\; z &&\; = \;&& 8 &  \\
&& && \frac{1}{2}y &&\; + &&\; \frac{1}{2}z &&\; = \;&& 1 & \\
&& && 2y &&\; + &&\; z &&\; = \;&& 5 &
\end{alignat} L_2 + \frac{3}{2}L_1 \rightarrow L_2
L_3 + L_1 \rightarrow L_3

\left[ \begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & -1 & 8 \\
0 & 1/2 & 1/2 & 1 \\
0 & 2 & 1 & 5
\end{array} \right]

\begin{alignat}{7}
2x &&\; + && y \;&& - &&\; z \;&& = \;&& 8 &  \\
&& && \frac{1}{2}y \;&& + &&\; \frac{1}{2}z \;&& = \;&& 1 & \\
&& && && &&\; -z \;&&\; = \;&& 1 &
\end{alignat} L_3 + -4L_2 \rightarrow L_3 \left[ \begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & -1 & 8 \\
0 & 1/2 & 1/2 & 1 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{array} \right]
Pašlaik matrica ir trijstūrveida
\begin{alignat}{7}
2x &&\; + && y \;&& &&\; \;&& = \;&& 7 &  \\
&& && \frac{1}{2}y \;&&  &&\; \;&& = \;&& 3/2 & \\
&& && && &&\; -z \;&&\; = \;&& 1 &
\end{alignat} L_2+\frac{1}{2}L_3 \rightarrow L_2
L_1 - L_3 \rightarrow L_1
\left[ \begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & 0 & 7 \\
0 & 1/2 & 0 & 3/2 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{array} \right]
\begin{alignat}{7}
2x &&\; + && y \;&& &&\; \;&& = \;&& 7 &  \\
&& && y \;&&  &&\; \;&& = \;&& 3 & \\
&& && && &&\; z \;&&\; = \;&& -1 &
\end{alignat} 2L_2 \rightarrow L_2
-L_3 \rightarrow L_3
\left[ \begin{array}{ccc|c}
2 & 1 & 0 & 7 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array} \right]
\begin{alignat}{7}
x &&\;  &&  \;&& &&\; \;&& = \;&& 2 &  \\
&& && y \;&&  &&\; \;&& = \;&& 3 & \\
&& && && &&\; z \;&&\; = \;&& -1 &
\end{alignat} L_1 - L_2 \rightarrow L_1
\frac{1}{2}L_1 \rightarrow L_1
\left[ \begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & -1
\end{array} \right]

Otrajā kolonnā ir uzrādītas operācijas, kas ir tikko veiktas.

Atsauces[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Siliņa, Biruta un Šteiners, Kārlis (2006). Rokasgrāmata matemātikā. Rīga: Zvaigzne ABC. 34. lpp. ISBN 9984-37-141-7.

Ārējās saites[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]