Skalārais reizinājums

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Matemātikā skalārais reizinājums ir bināra operācija, kas diviem vektoriem piekārto skalāru lielumu jeb skaitli, kas raksturo doto vektoru garumu un leņķi starp tiem, un nav atkarīgs no koordinātu sistēmas, kurā vektori uzdoti.

Definīcija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Par reālā n-dimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru \vec{a} un \vec{b} skalāro reizinājumu sauc tādu reālu skaitli c, ka

 c = |\, \vec{a} \,| \, |\, \vec{b} \,| \cos \theta,

kur |\, \vec{a} \,| un |\, \vec{b} \,| ir vektoru \vec{a} un \vec{b} garumi un θ ir leņķis starp tiem.

Skalārā reizinājuma darbību apzīmē ar "·", piemēram, c = \vec{a} \cdot \vec{b}.

Aprēķināšanas metodes[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pa tiešo[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Trīsdimensiju Eiklīda telpā esošu vektoru \vec{a} = (a_x, a_y, a_z) un \vec{b} = (b_x, b_y, b_z) skalārais reizinājums ir


  \vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z.

Ar summas palīdzību[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja \vec{a} = (a_1, a_2, \dots, a_n) un \vec{b} = (b_1, b_2, \dots, b_n) atrodas n-dimensiju Eiklīda telpā, tad to skalāro reizinājumu atrod ar summas palīdzību:


  \vec{a} \cdot \vec{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n.

Ar matricu palīdzību[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Vektoru skalāro reizinājumu var atrast ar matricu reizināšanas palīdzību. Ja vektorus \vec{a} un \vec{b} pieraksta kā kolonnas vektorus jeb matricas a\, un b\, ar vienu kolonnu un n rindiņām, tad


  a^\mathrm{T} b =
  \begin{pmatrix}
    a_1 & a_2 & \dots & a_n
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
    b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n
  \end{pmatrix}

ir 1 × 1 matrica, kuras vienīgais elements ir vienāds ar \vec{a} \cdot \vec{b}. Šeit a^\mathrm{T}\, apzīmē matricas a\, transponēto matricu (šajā gadījumā rindas vektoru).

Terminoloģija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Angliski jēdzienu scalar product lieto, lai apzīmētu skalāro reizinājumu reālā Eiklīda telpā. Lai apzīmētu skalārā reizinājuma vispārinājumu prehilberta telpā (piemēram, kompleksā Eiklīda telpā), lieto jēdzienu inner product jeb "iekšējais reizinājums". Latviešu valodā šāds jēdziens nav iegājies, tāpēc jēdzienu "skalārais reizinājums" attiecina gan uz reālām Eiklīda telpām, gan uz prehilberta telpām.[1] Līdzīgi arī vācu valodā jēdzienu Skalarproduct lieto abos gadījumos.

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Cīrulis, Teodors; Cīrule, Dace, Funkcionālanalīze, liis.lv.