Krāmera formulas

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Krāmera formulas ir formulas lineāru vienādojumu sistēmas atrisināšanai. Krāmera formulas ir derīgas tikai tādā gadījumā, ja vienādojumu skaits sakrīt ar nezināmo skaitu un sistēmai ir viens vienīgs atrisinājums. Tās ir nosauktas šveiciešu matemātiķa Gabriela Krāmera (Gabriel Cramer) vārdā, kas 1750. gadā publicēja tās patvaļīgam nezināmo skaitam, savukārt skots Kolins Maklorens (Colin Maclaurin) publicēja formulas speciālu gadījumu jau 1748. gadā (un, iespējams, zināja par to jau 1729. gadā). Krāmera formulas ir praktiski pielietot vienīgi sistēmām ar mazu vienādojumu skaitu.[1]

Vispārīgs gadījums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ir sistēma no n lineāriem vienādojumiem, kas satur n nezināmos un ir uzrakstāma matricu reizināšanas formā kā

 Ax = b\,

kur matricai A (A ir n × n matrica) determinants ir atšķirīgs no nulles, un vektors  x = (x_1, \ldots, x_n)^\mathrm{T} ir kolonnas matrica, kas sastāv no nezināmajiem lielumiem.

Sistēmai ir viens vienīgs atrisinājums, katrs nezināmais ir uzrakstāms šādi:

 x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)} \qquad i = 1, \ldots, n \,

kur Ai ir matrica, kurā A i-tā kolonnas locekļi ir aizvietoti ar b kolonnas matricas locekļiem.

Piemērs[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ir dota lineāra vienādojumu sistēma \left\{\begin{matrix}ax+by&={\color{red}e}\\ cx + dy&= {\color{red}f}\end{matrix}\right.\ , kas matricu formā ir uzrakstāma kā \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}.

Pieņem, ka ad − bc nav nulle. Tad x un y var atrast ar Krāmera formulām

x = \begin{vmatrix} {\color{red}{e}} & b \\ {\color{red}{f}} & d \end{vmatrix}/\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}  = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}

un

y = \begin{vmatrix} a & {\color{red}{e}} \\ c & {\color{red}{f}} \end{vmatrix}/\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}  = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}.

Noteikumi 3×3 matricai ir līdzīgi. Ir vienādojumu sistēma \left\{\begin{matrix}ax + by + cz&= {\color{red}j}\\dx + ey + fz&= {\color{red}k}\\gx + hy + iz&= {\color{red}l}\end{matrix}\right., kas matricu formātā ir uzrakstāma šādi \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}.

x, y un z vērtības var atrast šādi:

x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }, \quad y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }\text{ un }z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }.

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]