Polārā koordinātu sistēma

Polārās koordinātas, kurās norādīti dažu leņķu lielumi.

Polārā koordinātu sistēma ir divdimensiju koordinātu sistēma, kur katra punkta atrašanās vietu plaknē nosaka leņķa (φ vai θ) lielums un attālums (r) no sākumpunkta. Polārā koordinātu sistēma ir noderīga situācijās, kad attiecība starp divām vietām ir viegli nosakāma ar leņķu un attālumu palīdzību. Atšķirībā no daudz biežāk izmantotās Dekarta koordinātu sistēmas, šajā koordinātu sistēmā ir jāizmanto trigonometrija.

Pāreja uz taisnleņķa koordinātām (un atpakaļ)

Saistība starp polārajām un Dekarta koordinātām

Pāreja no polārajām koordinātām uz taisnleņķa koordinātām:

$x = r \cos \theta, \,$

$y = r \sin \theta. \,$

Pāreja no taisnleņķa koordinātām uz polārajām koordinātām ir neviennozīmīgāka, jo ja r=0, punkta koordinātas nav atkarīgas no leņķa θ (koordinātu sākumpunktā). Vēl, leņķis var pieņemt jebkādu vērtību, taču punkta atrašanās vieta ik pēc 2π atkārtojas.

Attālumu r var iegūt pēc Pitagora teorēmas: r² = x² + y², r = (x² + y²)^1/2

Ja leņķis θ ir definēts intervālā [0, 2π], tad:

$\theta = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{ja } x > 0 \mbox{ un } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{ja } x > 0 \mbox{ un } y < 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{ja } x < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{ja } x = 0 \mbox{ un } y > 0\\ \frac{3\pi}{2} & \mbox{ja } x = 0 \mbox{ un } y < 0 \end{cases}$

Ja leņķis θ ir definēts intervālā [−π, π], tad:

$\theta = \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) & \mbox{ja } x > 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{ja } x < 0 \mbox{ un } y \ge 0\\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{ja } x < 0 \mbox{ un } y < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{ja } x = 0 \mbox{ un } y > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{ja } x = 0 \mbox{ un } y < 0 \end{cases}$

Papildinājumi trīs dimensijās

Eksistē divas trīsdimensiju koordinātu sistēmas, kuru pamatā ir plaknes polāro koordinātu sistēma. Tās ir cilindriskā koordinātu sistēma un sfēriskā koordinātu sistēma.

Cilindriskā koordinātu sistēma

Ja polāro koordinātu sistēmu papildina ar vēl vienu koordinātu asi, kas ir perpendikulāra xy plaknei, tad iegūst cilindrisko koordinātu sistēmu.

Sfēriskā koordinātu sistēma

Polāro koordinātu sistēmu var papildināt ar vēl vienu leņķi (ar z asi) un iegūt sfērisko koordinātu sistēmu.

Ārējās saites

• Eric W. Weisstein, Polar Coordinates, MathWorld.
• Polar coordinates, Construction of polar coordinates, PlanetMath.