Pirmie Bernulli skaitļi
Bernulli skaitļi ir virkne racionālu skaiļu, kuri parādās matemātiskajā analīzē . Tie parādās teilora rindās priekš tangensa un hiperboliskā tangensa funkcijām, Faulhābera formulā priekš pirmajiem n naturālajiem skaitļiem, kas kāpināti m-tajā pakāpē kā arī atsevišķās vērtībās Rīmaņa zeta funkcijā .
Pastāv divi pierakstu veidi
B
m
−
{\displaystyle B_{m}^{-}}
un
B
m
+
{\displaystyle B_{m}^{+}}
, kas atšķiras tikai priekš vērtības n = 1 , kur
B
1
−
=
−
1
/
2
{\displaystyle B_{1}^{-}=-1/2}
un
B
1
+
=
+
1
/
2
{\displaystyle B_{1}^{+}=+1/2}
. Citiem nepāra skaitļiem Bernulli skaitļi ir nulle. Pāra skaitļiem
B
n
{\displaystyle B_{n}}
ir negatīvs, ja n dalās ar 4 un pozitīvs citos gadījumos.
Bernulli skaitļi sākotnēji parādījās Jākoba Bernulli pēc nāves publikācijā 1713.gadā, kuri arī neatkarīgi parādijās Seki Kowa pēc nāves publikācijā 1712.gadā. Bernulli pētīja summas kāpinātiem naturāliem skaitļiem(summas skaitļu kvadrātiem, kubiem, u.t.t.). Definējam
S
p
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
−
1
k
p
{\displaystyle S_{p}(n)=\sum _{k=1}^{n-1}k^{p}}
.
Pirmās vērtības:
S
0
(
n
)
=
n
S
1
(
n
)
=
1
2
n
2
−
1
2
n
S
2
(
n
)
=
1
3
n
3
−
1
2
n
2
+
1
6
n
S
3
(
n
)
=
1
4
n
4
−
1
2
n
3
+
1
4
n
2
S
4
(
n
)
=
1
5
n
5
−
1
2
n
4
+
1
3
n
3
−
1
30
n
S
5
(
n
)
=
1
6
n
6
−
1
2
n
5
+
5
12
n
4
−
1
12
n
2
S
6
(
n
)
=
1
7
n
7
−
1
2
n
6
+
1
2
n
5
−
1
6
n
3
+
1
42
n
S
7
(
n
)
=
1
8
n
8
−
1
2
n
7
+
7
12
n
6
−
7
24
n
4
+
1
12
n
2
{\displaystyle {\begin{aligned}&S_{0}(n)=n\\&S_{1}(n)={\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {1}{2}}n\\&S_{2}(n)={\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\\&S_{3}(n)={\frac {1}{4}}n^{4}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}\\&S_{4}(n)={\frac {1}{5}}n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n\\&S_{5}(n)={\frac {1}{6}}n^{6}-{\frac {1}{2}}n^{5}+{\frac {5}{12}}n^{4}-{\frac {1}{12}}n^{2}\\&S_{6}(n)={\frac {1}{7}}n^{7}-{\frac {1}{2}}n^{6}+{\frac {1}{2}}n^{5}-{\frac {1}{6}}n^{3}+{\frac {1}{42}}n\\&S_{7}(n)={\frac {1}{8}}n^{8}-{\frac {1}{2}}n^{7}+{\frac {7}{12}}n^{6}-{\frac {7}{24}}n^{4}+{\frac {1}{12}}n^{2}\end{aligned}}}
Šīs summas Bernulli pārformulēja, ievērojot to saistību ar kombinācijām . No summas izvelkot koeficientu
1
p
+
1
{\displaystyle {\frac {1}{p+1}}}
un no koeficientiem izvelkot noteiktas kombinācijas iegūst konstantus skaitļus, kurus dēvē par Bernulli skaitļiem.[ 1] Pirmie Bernulli skaitļi virknē:
B
0
=
1
,
B
1
=
−
1
2
,
B
2
=
1
6
,
B
3
=
0
,
B
4
=
−
1
30
,
B
5
=
0
,
B
6
=
1
42
,
B
7
=
0
,
B
8
=
−
1
30
,
B
9
=
0
,
B
10
=
5
66
,
B
11
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}=1,\ \ B_{1}=-{\frac {1}{2}},\ \ B_{2}={\frac {1}{6}},\ \ B_{3}=0,\ \ B_{4}=-{\frac {1}{30}},\ \ B_{5}=0,\\B_{6}={\frac {1}{42}},\ \ B_{7}=0,\ \ B_{8}=-{\frac {1}{30}},\ \ B_{9}=0,\ \ B_{10}={\frac {5}{66}},\ \ B_{11}=0\end{aligned}}}
Vispārīgi šo summu var pierakstīt kā
S
p
(
n
)
=
1
p
+
1
∑
k
=
0
p
(
p
+
1
k
)
⋅
B
k
⋅
n
p
+
1
−
k
{\displaystyle S_{p}(n)={\frac {1}{p+1}}\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}\cdot B_{k}\cdot n^{p+1-k}}
Bernulli skaitļus var ieviest dažādos veidos:
Bernulli skaitļiem izpildās formulas:
∑
k
=
0
p
(
p
+
1
k
)
B
k
−
=
δ
p
,
0
∑
k
=
0
p
(
p
+
1
k
)
B
k
+
=
m
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}B_{k}^{-}=\delta _{p,0}\\&\sum _{k=0}^{p}{\binom {p+1}{k}}B_{k}^{+}=m+1\end{aligned}}}
kur
m
=
0
,
1
,
2
,
.
.
.
{\displaystyle m=0,1,2,...}
un
δ
{\displaystyle \delta }
ir Kronekera delta . Izsakot
B
m
∓
{\displaystyle B_{m}^{\mp }}
iegūst rekusīvās formulas:
B
p
−
=
δ
p
,
0
−
∑
k
=
0
p
−
1
(
p
k
)
⋅
B
k
−
m
−
k
+
1
B
p
+
=
1
−
∑
k
=
0
p
−
1
(
p
k
)
⋅
B
k
+
m
−
k
+
1
{\displaystyle {\begin{aligned}&B_{p}^{-}=\delta _{p,0}-\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p}{k}}\cdot {\frac {B_{k}^{-}}{m-k+1}}\\&B_{p}^{+}=1-\sum _{k=0}^{p-1}{\binom {p}{k}}\cdot {\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}\end{aligned}}}
B
p
−
=
∑
k
=
0
p
1
k
+
1
∑
j
=
0
k
(
k
j
)
(
−
1
)
j
j
p
B
p
+
=
∑
k
=
0
p
1
k
+
1
∑
j
=
0
k
(
k
j
)
(
−
1
)
j
(
j
+
1
)
m
{\displaystyle {\begin{aligned}&B_{p}^{-}=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}j^{p}\\&B_{p}^{+}=\sum _{k=0}^{p}{\frac {1}{k+1}}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}(-1)^{j}(j+1)^{m}\end{aligned}}}
↑ C. D. BUENGER. «WHAT ARE THE BERNOULLI NUMBERS?» .