Piedzimis Virtembergas hercogistē. Viņa tēvs strādājis vietējā klosterī par pārvaldnieku un nodarbojies ar bagātu vecāku bērnu audzināšanu. Jaunais Johans ieguvis katolisku izglītību un ticis nosūtīts uz Poliju, lai turpinātu garīgo apmācību. Tomēr Polijā Allgaiers iemācījies spēlēt šahu un sācis daudz laika veltīt šai spēlei. Napoleona karu laikā devies uz Vīni, kur 1798. gadā pievienojies Austrijas armijai. Arī Vīnē viņš daudz nodarbojies ar šahu. 1780. gada beigās uzvarējis svarīgā mačā, kas ļāvis nopelnīt prāvu summu un labākā pilsētas šahista slavu. Ticis uzņemts arī Austrijas imperatora Franča II galmā, kur apmācījis šaha spēlei imperatora radiniekus. Tā kā bijis armijā, tad kārtējās Austriju un Francijas kampaņas laikā strādājis lauka hospitālī. 1809. gadā saslimis ar astmu. Vēlāk ticis pārcelts uz Prāgu, kur bijis hospitāļa grāmatvedis. 1816. gadā atgriezies Vīnē un veselības stāvokļa dēļ atstājis dienestu. No Austrijas imperatora saņēmis nelielu pensiju. Līdz mūža galam daudz spēlējis šahu Vīnes kafejnīcās, lielākoties uz sīkām naudas summām. Šaha vēsturē tiek minēts kā viens no iespējamajiem Napoleona Bonaparta pretiniekiem, kad 1809. gadā Šēnbrunnas pilī Francijas imperators spēlējis šahu ar šaha automātu, kurā iekšā sēdējis cilvēks.
1795. un 1796. gados Vīnē izdevis divos sējumos savu grāmatu "Jauna teorētiski - praktiska šaha spēles pamācība" (Neue theoretisch-praktische Anweisung zum Schachspiel), kuru uzskata par pirmo šaha mācību grāmatu vācu valodā. Grāmata piedzīvoja septiņus atkārtotus izdevumus, no kuriem pēdējais iznāca pēc autora nāves 1843. gadā. Savā grāmatā Allgaiers parādījis labas toreizējās šaha literatūras zināšanas, kā arī devis vērtīgu ieguldījumu dažādu atklātņu teorijas pirmsākumos. Viņa grāmatā pirmo reizi ir pieminēta atklātne 1. e4 Zf6, kuru vēlāk nosauca par Aļehina aizsardzību.
