Rakstos pirmoreiz minēta 1870. gadā Krievijas sastāvā. Apdzīvotā vieta attīstījās pēc Rivnes—Koveļas dzelzceļa līnijas izbūves. Pēc Pirmā pasaules kara laikā iekļāvās jaunizveidotajā Polijas valstī. Sākoties Otrajam pasaules karam, pamatojoties uz Molotova-Ribentropa paktu, 1939. gadā pilsētu ieņēma PSRS karaspēks. Pēc Vācijas uzbrukuma PSRS Kivercus ieņēma vācu karaspēks. Vācu okupācijas laikā tika iznīcināta pilsētas ebreju kopiena.
Pēc kara lielākā daļa atlikušo poļu iedzīvotāju pārcēlās vai tika pārcelti uz dzīvi Polijā, sevišķi uz tās rietumu apgabaliem, no kuriem savukārt tika padzīti vācieši. Līdz 1991. gadam Kiverci bija Ukrainas PSR sastāvā.