Lauks (matemātika)

Vikipēdijas lapa
Jump to navigation Jump to search

Matemātikā lauks ir algebriska struktūra: kopa, kurā ir definēta saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana, un tās darbojas tāpat kā atbilstošās darbības ar racionāliem un reāliem skaitļiem. Laukus izmanto algebrā, skaitļu teorijā un citās matemātikas nozarēs.[1]

Pazīstamākie lauki ir racionālo skaitļu lauks, reālo skaitļu lauks un komplekso skaitļu lauks. Citus laukus, piemēram, racionālu funkciju laukus, algebrisku funkciju laukus, algebrisku skaitļu laukus un p-adisku skaitļu laukus, izmanto un pēta matemātikā, piemēram, skaitļu teorijā un algebriskajā ģeometrijā. Vairums kriptogrāfijas metožu balstās uz galīgiem laukiem, tas ir, laukiem, kuru elementu skaiti ir galīgi.[2]

Saistību starp laukiem un lauku saistību ar grupām aplūko Galuā teorijā, ko 19. gadsimta 30. gados aizsāka Evarists Galuā. Tā sniedz noraidošas atbildes uz tūkstošiem gadu senajiem jautājumiem: vai ar cirkuli un lineālu iespējama leņķa trisekcija un kuba divkāršošana. Tāpat šī teorija arī parāda, ka nav iespējams ar algebrisku formulu no koeficientiem izteikt piektās kārtas polinoma saknes.

Definīcijas un īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Apzīmējumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Bināra operācija kopā ir attēlojums : katram sakārtotam elementu pārim ir piekārtots kāds elements. Lauka operācijas parasti sauc saskaitīšanu un reizināšanu. Elementu, ko saskaitīšana piekārto pārim sauc par summu un apzīmē kā . Savukārt reizināšanas rezultātu sauc par reizinājumu un apzīmē kā vai .

Lauka definīcija[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lauks ir algebriska struktūra, ko veido kopa un divas tajā definētas bināras operācijas, kuras sauc par saskaitīšanu un reizināšanu. Šīs darbības jebkuriem elementiem izpildās saskaņā ar sekojošajām aksiomām.[3]

Asociativitāte[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Saskaitīšana un reizināšana ir asociatīvas:

Komutativitāte[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Saskaitīšana un reizināšana ir komutatīvas:

Saskaitīšanas un reizināšanas identitātes[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Kopā ir divi dažādi elementi (nulles elements jeb saskaitīšanas identitāte) un (vienības elements jeb reizināšanas identitāte) tādi, ka

Apgrieztie elementi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Katram eksistē pretējais elements, ko apzīmē ar un ar ko izpildās

Katram nenulles elementam eksistē inversais elements, ko apzīmē ar un ar ko izpildās

Distributivitāte[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Reizināšanas ir distributīva attiecībā pret saskaitīšanu:

Izmantojot citus matemātikā pazīstamus terminus, var šīs aksiomas apkopot šādi: laukam ir divas operācijas, ko sauc par saskaitīšanu un reizināšanu; ar saskaitīšanu tas veido Ābela grupu, kuras identitāte ir ; nenulles elementi ar reizināšanu, veido Ābela grupu, kuras identitāte ir ; reizināšana ir distributīva attiecībā pret saskaitīšanu.

Sekas un īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Pretējā un inversā elementa eksistence ļauj veikt saskaitīšanai un reizināšanai pretējās darbības: atņemšanu un dalīšanu , definējot tās šādi:

Izmantojot distributivitāti un nulles elementa definīciju redzams, ka :

Līdzīgi var parādīt, ka :

Ja tad vismaz viens no reizinātājiem pats ir . Aplūkosim gadījumu, kad nav . Tādā gadījumā :

.

Harakteristika[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Var definēt lauka elementa reizinājumu ar pozitīvu naturālu skaitli: , kur ar sevi saskaitīts reizes. Ja neeksistē tāds skaitlis , ka , tad saka, ka šī lauka harakteristika ir . Savukārt, ja tāds eksistē, tad mazākais , kam tas izpildās, ir pirmskaitlis un to parasti apzīmē ar un saka, ka lauka harakteristika ir . Jebkuriem lauka elementiem izpildās

;

,

kur ir kāpināšana jeb –kārtīgs reizinājums ar sevi:

Apakšlauki un paplašinājumi[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja lauka apakškopa pati veido lauku ar to pašu saskaitīšanu un reizināšanu, kas laukā , tad sauc par lauka apakšlauku. Savukārt ir lauka paplašinājums. Lauku, kuram nav mazāka apakšlauka sauc par primitīvu lauku. Primitīvi lauki, kuru harakteristika ir kāds pirmskaitlis , ir izomorfi galīgam laukam , bet pārējie — izomorfi racionālajiem skaitļiem .[4]

Piemēri[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Lauks ar četriem elementiem, kura apakšlauks (zili simboli ar sārtu fonu) ir
Saskaitīšana Reizināšana
+ O I A B
O O I A B
I I O B A
A A B O I
B B A I O
· O I A B
O O O O O
I O I A B
A O A B I
B O B I A

Lauki ir racionālie skaitļi , reālie skaitļi un kompleksie skaitļi — katram no tiem ar parasto saskaitīšanu un reizināšanu izpildās visas lauka aksiomas. Nulles elements ir , bet vienības elements ir .[1]

Savukārt naturālie skaitļi lauku (un pat grupu) neveido, jo tiem neeksistē pretējais elements. Piemēram, nav tāda naturāla skaitļa, ko varētu pieskaitīt pie un iegūt . Veselo skaitļu kopā pretējie elementi eksistē, taču neeksistē inversie elementi: nav vesela skaitļa, kuru pareizinot ar varētu iegūt . Tāpēc arī veselie skaitļi neveido lauku, tie veido tikai gredzenu.[5][1]

Galīgi lauki[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Galīgi jeb Galuā lauki ir tādi lauki, kuros ir galīgs elementu skaits. Pats mazākais lauks ir divu elementu lauks jeb , kurā ir tikai un , to mēdz saukt arī par triviālo lauku.[1] Galīga lauka kārta jeb elementu skaits vienmēr ir kāda pirmskaitļa pakāpe . Galīgi lauki ar to pašu kārtu ir izomorfi, t.i. to struktūra ir vienāda, tikai elementi var būt nosaukti atšķirīgos vārdos. Pieņemts lauku ar kārtu apzīmēt kā vai .[6]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 Kārlis Podnieks. «Abstraktā algebra: Lauki, gredzeni un grupas». Skatīts: 2020-04-13.
  2. Christoforus Juan Benvenuto. «Galois Field in Cryptography», 2012-05-31. Skatīts: 2020-04-13.
  3. Eric W. Weisstein. «Field Axioms». Skatīts: 2020-04-13.
  4. Aivars Bērziņš. Algebra. Rīga : Latvijas Universitāte, 2001. ISBN 9789984725055.
  5. Eric W. Weisstein. «Field». Skatīts: 2020-04-13.
  6. Eric W. Weisstein. «Finite Field». Skatīts: 2020-13-04.