Lode

Lode ir visu to telpas punktu kopa, kuri atrodas ne tālāk par kādu noteiktu attālumu no kāda fiksēta telpas punkta. Šo punktu sauc par lodes centru un attālumu - par lodes rādiusu. Ģeometrijā lodi definē kā ķermeni, kas rodas, pusriņķim rotējot ap tā diametru. Lodes virsmu, kas rodas, pusriņķa līnijai rotējot ap tās diametru, sauc par sfēru. Tas nozīmē, ka lode ir telpas daļa, ko ierobežo sfēra.^[1]

Lodes segments

Par lodes segmentu sauc figūru, ko no lodes atšķeļ plakne. Minētās plaknes šķēlums ar lodi ir lodes segmenta pamats. Lodes segmenta augstums ir tā lodes diametra daļa, kurš ir perpendikulārs pret šķēluma plakni. Lodes segmenta tilpumu un segmenta sfēriskās virsmas laukumu aprēķina pēc formulām :

$V=\pi *H^{2}(R-{\frac {H}{3}})$

$S=2*\pi *R*H$

R- lodes rādiuss, H- segmenta augstums.

Lodes sektors

Par lodes sektoru sauc lodes daļu, kas sastāv no konusa, kura virsotne atrodas lodes centrā un pamata riņķa līnija - uz sfēras virsmas, un lodes segmenta, kas iegūts lodes šķēlumā caur minēto riņķa līniju apvienojuma. Lodes sektora virsmas laukumu aprēķina kā lodes segmenta sfēriskās virsmas laukuma un konusa sānu virsmas laukuma summu. Lodes sektora tilpumu aprēķina pēc formulas :

$V={\frac {2\pi }{3}}*R^{2}*H$

R - lodes rādiuss, H- attiecīgā lodes segmenta augstums.

Lodes slānis

Par lodes slāni sauc ķermeni, ko no lodes atšķeļ divas paralēlas plaknes. Lodes slāņa tilpumu aprēķina kā starpību starp lodes un abu lodes segmentu tilpumiem. ^[2]

Ģeometrisko ķermeņu kombinācijas

Ievilkta lode^[3]

Par lodi saka, ka tā ir ievilkta kādā daudzskaldnī, ja lode pieskaras visām daudzskaldņa skaldnēm. Tas nozīmē, ka lodi var ievilkt tikai tādā daudzskaldnī, kurā ir punkts, kas atrodas vienādā attālumā no visām skaldnēm ( šis punkts ir ievilktās lodes centrs).

Cilindrā, konusā un nošķeltā konusā ievilkta lode pieskaras šo ķermeņu pamatiem un visām veidulēm.

Piramīdā ievilkta lode

Pie piramīdas virsotnes veidojas daudzplakņu kakts. Ja novelk šī daudzplakņu kakta viena divplakņu kakta bisektrišu plakni (plakni caur divplakņu kakta šķautni un kakta leņķa bisektrisi), tad visi tās punkti atrodas vienādā attālumā no abām divplakņu kakta skaldnēm. Ja novelk vēl otra blakus esošā divplakņu kakta bisektrišu plakni, tad, tai šķeļoties ar iepriekšējo bisektrišu plakni, iegūst taisni, kuras visi punkti atrodas vienādā attālumā no trim daudzplakņu kakta skaldnēm. Tas nozīmē, ka katrā trijstūra piramīdā var ievilkt lodi, ja tādai piramīdai var atrast punktu, kas atrodas vienādā attālumā no visām skaldnēm, ņemot uz iegūtās taisnes punktu, kura attālums līdz pamata plaknei ir tāds pats kā attālums līdz sānu skaldnei.

Prizmā ievilkta lode

Lodi var ievilkt prizmā, ja tās perpendikulārā šķēlumā var ievilkt riņķi un šī riņķa diametrs ir vienāds ar attālumu starp prizmas pamatiem.Lodi var ievilkt taisnā prizmā, ja prizmas pamatā var ievilkt riņķi un šī riņķa diametrs ir vienāds ar prizmas augstumu.

Nošķeltā piramīdā ievilkta lode

Lodi var ievilkt tādā nošķeltā piramīdā, kas iegūta no pilnas piramīdas, kurā var ievilkt lodi, šķeļot pilno piramīdu ar plakni paralēli pamatam ievelkamās lodes diametra attālumā no šī pamata. Nošķeltā regulārā piramīdā var ievilkt lodi tad, ja nošķeltās piramīdas tā augstuma viduspunkts, kas savieno pamatu centrus, atrodas sānu skaldnes attālumā, kas vienāds ar pusi no šī augstuma.

Cilindrā ievilkta lode

Lodi var ievilkt tikai vienādmalu cilindrā, tas nozīmē, ka cilindra augstumam ir jābūt vienādam ar pamata diametru.

Risinot uzdevumus, dažreiz ir ērti zīmēt nevis pilnu ķermeņu kombinācijas attēlu, bet tikai tās šķēlumu ar plakni, kas vilkta caur cilindra rotācijas asi. Šādas ķermeņu kombinācijas aksiālšķēlums ir kvadrāts, kurā ievilkta riņķa līnija.

Konusā ievilkta lode

Lodi var ievilkt jebkurā konusā, jo konusa ass katrs punkts atrodas vienādos attālumos no visiem pamata riņķa līnijas punktiem. Ievilktās lodes centrs atrodas konusa ass krustpunktā ar bisektrisi leņķim, ko veido kāda konusa veidule un pamats.

Risinot uzdevumus, dažreiz ir ērti zīmēt nevis pilnu ķermeņu kombinācijas attēlu, bet tikai ķermeņu kombinācijas šķēlumu ar plakni, kas vilkta caur konusa rotācijas asi. Šādas ķermeņu kombinācijas aksiālšķēlums ir vienādsānu trijstūris, kurā ievilkta riņķa līnija.

Nošķeltā konusā ievilkta lode

Nošķeltā konusā ir iespējams ievilkt lodi tikai tad, ja pamatu rādiusu summa ir vienāda ar veidules garumu.

Kubā ievilkta lode

Lode ir ievilkta kubā, ja tā pieskaras visām kuba skaldnēm. Jebkuru lodi var ievilkt kubā.

Lodes centrs atrodas kuba diagonāļu krustpunktā. Lodes un kuba kopīgie punkti ir sešu kuba skaldņu centri.

Apvilkta lode^[3]

Par lodi saka, ka tā ir apvilkta ap kādu daudzskaldni, ja visas daudzskaldņa virsotnes atrodas uz lodes virsmas.

Piramīdai apvilkta lode

Lodi var apvilkt ap piramīdu, ja tās pamats ir daudzstūris ap kuru var apvilkt riņķa līniju. Tā kā perpendikuls, kas vilkts pret piramīdas pamatu caur tam apvilktās riņķa līnijas centru, ir visu to punktu ģeometriskā vieta, kuri atrodas vienādā attālumā no piramīdas pamata virsotnēm, tad lodes centrs atrodas uz šā perpendikula punktā, kurā to krusto kādas šķautnes vidusperpendikulu plakne. Lodi var apvilkt ap jebkuru trijstūra piramīdu un ap piramīdu, kuras visas sānu šķautnes veido ar pamata plakni vienādus leņķus vai ir savstarpēji vienādas.

Uzdevumu atrisināšanai, kuros dota ap piramīdu apvilkta lode , var izmantot īpašību, ka katrs trijstūris, ko iegūst lodes centru savienojot ar kādas šķautnes abiem galapunktiem, ir vienādsānu trijstūris. Ja lode jāapvelk ap piramīdu,kuras sānu šķautnes ir vienādas, var izmantot īpašību, ka lodes centrs atrodas uz piramīdas augstuma.

Prizmai apvilkta lode

Lodi var apvilkt tikai ap tādu taisnu prizmu, ap kuras pamatu var apvilkt riņķi. Šiem noteikumiem atbilst katra taisna trijstūra prizma,, taisnstūra paralēlskaldnis, četrstūra prizma, kuras pamata pretējo leņķu summas ir vienādas, un katra regulāra prizma. Apvilktas lodes centrs atrodas prizmas tā augstuma viduspunktā, kas savieno ap pamatiem apvilkto riņķu centrus.

Ap nošķeltu piramīdu apvilkta lode

Lodi var apvilkt tikai ap tādu nošķeltu piramīdu, ap kuras pamatiem var apvilkt riņķus un kurā nogrieznis, kas savieno šo riņķu centrus ir perpendikulārs pret pamatiem. Ap katru nošķeltu, regulāru piramīdu var apvilkt lodi.

Ap cilindru apvilkta lode

Lodi var apvilkt ap katru cilindru, jo cilindra ass viduspunkts atrodas vienādā attālumā no abu pamatu riņķa līniju visiem punktiem. Cilindra ass viduspunkts ir apvilktās lodes centrs.

Ap konusu apvilkta lode

Lodi var apvilkt ap katru konusu, jo katrs punkts uz konusa ass atrodas vienādā attālumā no visiem pamata riņķa līnijas punktiem. Lodes centra vietu uz konusa ass nosaka kādā aksiālšķēlumā vilktais perpendikuls pret konusa veiduli caur tās viduspunktu.

Ap nošķeltu konusu apvilkta lode

Lodi var apvilkt ap katru nošķeltu konusu. Lodes centrs atrodas uz nošķeltā konusa ass vai uz tās pagarinājuma aiz lielākā pamata. Lodes centra vietu nosaka kādā aksiālšķēlumā vilktais perpendikuls pret nošķeltā konusa veiduli caur tā viduspunktu.

Formulas

Tilpums lodei ar rādiusu $r$ un diametru $D$ ir

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

vai

V={\frac {\pi }{6}}*D^{3}

Virsmas laukums lodei ar rādiusu $r$ ir

S=4\pi r^{2}\,

.

Īpašības

Lode ir telpiska, izliekta figūra
Lodes smaguma centrs sakrīt ar tās centru
Katra plakne, kas iet caur lodes centru, ir lodes simetrijas plakne, un tā sadala lodi divās vienādās daļās
Lodes šķēlums ar plakni ir riņķis
Starp visām figūrām ar vienu un to pašu virsmas laukumu, lode ir figūra ar vislielāko tilpumu.

Skatīt arī

Atsauces

↑ Lude, I. (2000) Ģeometrija vidusskolām. Rīga: Pētergailis
↑ Kriķis, D., Zariņš, P., Ziobrovskis, V. (1993) Diferencēti uzdevumi matemātikā. 2. daļa. Rīga: Zvaigzne ABC
↑ ^3,0 ^3,1 Grava, A. (1972) Zīmējumi un uzdevumi stereometrijā. Rīga : Zvaigzne ABC

[1] Lude, I. (2000) Ģeometrija vidusskolām. Rīga: Pētergailis

[2] Kriķis, D., Zariņš, P., Ziobrovskis, V. (1993) Diferencēti uzdevumi matemātikā. 2. daļa. Rīga: Zvaigzne ABC

[:0-3] 3,0 ^3,1 Grava, A. (1972) Zīmējumi un uzdevumi stereometrijā. Rīga : Zvaigzne ABC

[1]

[2]

[3]