Nenoteiktais integrālis

Nenoteiktais integrālis ir funkcijas $f(x)$ visu primitīvo funkciju $F(x)+C$ kopums, kuru atvasinājums ir vienāds ar $f(x)$ . To apzīmē ar $\int _{\,}^{\,}f(x)dx+C$ , kur C ir integrācijas konstante. Primitīvo funkciju kopuma noteikšanu sauc par funkcijas integrēšanu, un tā ir pretēja darbība atvasināšanai. Nenoteiktos integrāļus ar noteiktajiem integrāļiem saista Ņūtona—Leibnica fundamentālā teorēma: funkcijas noteiktā integrāļa vērtība kādā intervālā ir vienāda ar tās nenoteiktā integrāļu starpību intervālu galapunktos. Pastāv vairāki nenoteiktā integrāļa atrašanas veidi, tai skaitā ar substitūciju, izmantojot parciālo integrēšanu, izmantojot nenoteiktā integrāļa linearitāti.

Definīcija

Funkciju $F(x)$ , kuras atvasinājums ir dotā funkcija, t.i., $F'(x)=f(x)$ , sauc par dotās funkcijas $f(x)$ primitīvo funkciju.

Dotās funkcijas $f(x)$ primitīvo funkciju kopu $F(x)+C$ sauc par tās nenoteikto integrāli un apzīmē: $\int f(x)dx=F(x)+C$ , kur $C$ ir patvaļīga konstante, $dx$ ir integrācijas mainīgā diferenciālis, $f(x)$ ir zemintegrāļa funkcija, $f(x)dx$ ir zemintegrāļa izteiksme. ^[1]

Nenoteiktā integrāļa īpašības^[2]

Nenoteiktā integrāļa atvasinājums ir vienāds ar zemintegrāļa funkciju : $(\int f(x)dx)'=f(x)$
Nenoteiktais integrālis no kādas funkcijas diferenciāļa (vai atvasinājuma) ir vienāds ar šīs funkcijas un patvaļīgas konstantes summu: $\int F'(x)dx=F(x)+C$
Divu vai vairāku funkciju summas (starpības) nenoteiktais integrālis ir vienāds ar šo funkciju integrāļu summu (starpību): $\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$
Ja zemintegrāļa funkcija ir kādas funkcijas un konstantes reizinājums, tad konstanti var iznest pirms integrāļa zīmes: $\int Af(x)dx=A\int f(x)dx,kurA-const.$
Ja $\int f(x)dx=F(x)+C$ , tad aizvietojot $x$ ar kādu funkciju $u$ , formula saglabājas: $\int f(u)du=F(u)+C$

Pamatintegrāļu tabula ^[1]

Tāpat kā atvasinājuma formulu gadījumā arī nenoteiktā integrāļa pamatformulas ir iedalāmas 2 grupās:

Pamatfunkciju integrēšanas formulas, kuras iegūst tieši no atbilstošajām atvasinājuma formulām,
Pamatfunkcijām atbilstošo salikto funkciju integrēšanas formulas


Pamatfunkciju integrāļi	Saliktu funkciju integrāļi
$\int x^{n}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;n\neq -1$	$\int u^{n}du={\frac {u^{n+1}}{n+1}}+C;n\neq -1$
$\int {\frac {dx}{x}}=ln\|x\|+C$	$\int {\frac {du}{u}}=ln\|u\|+C$
$\int a^{x}dx={\frac {a^{x}}{lna}}+C$	$\int a^{u}du={\frac {a^{u}}{lna}}+C$
$\int e^{x}dx=e^{x}+C$	$\int e^{u}du=e^{u}+C$
$\int cosxdx=sinx+C$	$\int cosudu=sinu+C$
$\int sinxdx=-cosx+C$	$\int sinudu=-cosu+C$
$\int {\frac {dx}{cos^{2}x}}=tgx+C$	$\int {\frac {du}{cos^{2}u}}=tgu+C$
$\int {\frac {dx}{sin^{2}x}}=-ctgx+C$	$\int {\frac {du}{sin^{2}u}}=-ctgu+C$
$\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=arcsin{\frac {a}{x}}+C$	$\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=arcsin{\frac {a}{u}}+C$
$\int {\frac {dx}{a^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{a}}arctg{\frac {x}{a}}+C$	$\int {\frac {du}{a^{2}+u^{2}}}={\frac {1}{a}}arctg{\frac {u}{a}}+C$
$\int {\frac {dx}{a^{2}-x^{2}}}={\frac {1}{2a}}ln\|{\frac {x-a}{x+a}}\|+C$	$\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{2a}}ln\|{\frac {u-a}{u+a}}\|+C$
$\int {\frac {dx}{\surd (x^{2}\pm a^{2})}}=ln\|x+\surd (x^{2}\pm a^{2})\|+C$	$\int {\frac {du}{\surd (u^{2}\pm a^{2})}}=ln\|u+\surd (u^{2}\pm a^{2})\|+C$