Trigonometrisko funkciju integrēšana ir apgrieztā darbība trigonometrisko funkciju atvasināšanai (tiek meklēta tāda funkcija , kuru atvasinot iegūst sākotnēji doto funkciju).
Apskatīsim vispārīgu metodi, kā noteikt integrāli
∫
sin
p
x
cos
q
x
d
x
,
{\displaystyle \int \sin ^{p}x\cos ^{q}x\,\mathrm {d} x,}
kur p un q ir reāli skaitļi , no kuriem vismaz viens ir pozitīvs nepāra skaitlis. Piemēram, p = 2n + 1, kur n ir naturāls skaitlis vai nulle . Izmantojot sakarību
sin
p
x
d
x
=
sin
2
n
+
1
x
d
x
=
(
sin
2
x
)
n
sin
x
d
x
=
−
(
1
−
cos
2
x
)
n
d
(
cos
x
)
,
{\displaystyle \sin ^{p}x\,\mathrm {d} x=\sin ^{2n+1}x\,\mathrm {d} x=(\sin ^{2}x)^{n}\sin x\,\mathrm {d} x=-(1-\cos ^{2}x)^{n}\,\mathrm {d} (\cos x),}
integrāli pārveido šādi:
∫
sin
p
x
cos
q
x
d
x
=
−
∫
(
1
−
cos
2
x
)
n
cos
q
x
d
(
cos
x
)
.
{\displaystyle \int \sin ^{p}x\cos ^{q}x\,\mathrm {d} x=-\int (1-\cos ^{2}x)^{n}\cos ^{q}x\,\mathrm {d} (\cos x).}
Pēc iekavu atvēršanas tiek iegūta summa no šāda tipa integrāļiem:
∫
cos
m
x
d
(
cos
x
)
=
cos
m
+
1
x
m
+
1
+
C
.
{\displaystyle \int \cos ^{m}x\,\mathrm {d} (\cos x)={\frac {\cos ^{m+1}x}{m+1}}+C.}
Līdzīgi var apskatīt arī gadījumu, kad q = 2n ′ + 1, kur n ′ ir naturāls skaitlis vai nulle.[ 1]
Piemērs Lai aprēķinātu integrāli
∫
cos
3
x
d
x
sin
x
,
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{3}x\,\mathrm {d} x}{\sqrt {\sin x}}},}
izmanto sakarību
cos
3
x
d
x
=
cos
2
x
cos
x
d
x
=
(
1
−
sin
2
x
)
d
(
sin
x
)
.
{\displaystyle \cos ^{3}x\,\mathrm {d} x=\cos ^{2}x\cos {x}\,\mathrm {d} x=(1-\sin ^{2}x)\,\mathrm {d} (\sin x).}
Sekojot vispārīgajai metodei, iegūst
∫
cos
3
x
d
x
sin
x
=
∫
(
1
−
sin
2
x
)
sin
−
1
2
x
d
(
sin
x
)
=
∫
sin
−
1
2
x
d
(
sin
x
)
−
∫
sin
3
2
x
d
(
sin
x
)
=
sin
1
2
x
1
2
−
sin
5
2
x
5
2
+
C
=
2
sin
x
−
2
5
sin
2
x
sin
x
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\cos ^{3}x\,\mathrm {d} x}{\sqrt {\sin x}}}&=\int (1-\sin ^{2}x)\sin ^{-{\frac {1}{2}}}x\,\mathrm {d} (\sin x)\\&=\int \sin ^{-{\frac {1}{2}}}x\,\mathrm {d} (\sin x)-\int \sin ^{\frac {3}{2}}x\,\mathrm {d} (\sin x)\\&={\frac {\sin ^{\frac {1}{2}}x}{\frac {1}{2}}}-{\frac {\sin ^{\frac {5}{2}}x}{\frac {5}{2}}}+C\\&=2{\sqrt {\sin x}}-{\frac {2}{5}}\sin ^{2}x{\sqrt {\sin x}}+C.\end{aligned}}}
↑ Augstākā matemātika, R.: Zvaigzne, 1970, 203. lpp.
Vitolds Gedroics, 1.7. Trigonometrisko funkciju integrēšana , lekciju materiāli (Daugavpils Universitāte, 2002).
Nalaļja Budkina, Trigonometrisku funkciju integrēšana [novecojusi saite ] , lekciju materiāli (Rīgas Tehniskā universitāte, 2008).
Pēteris Daugulis, Trigonometrisku funkciju integrēšana Arhivēts 2016. gada 5. martā, Wayback Machine 
