Trijstūra augstums

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Trijstūra augstumi.

Trijstūra augstums ir nogrieznis, kas savieno trijstūra virsotni ar pretējo malu vai tās pagarinājumu un ar to veido taisnu leņķi.

Atkarībā no trijstūra veida, augstums var atrasties trijstūra iekšpusē (šaurleņķu trijstūrim), sakrist ar trijstūra malu (taisnleņķa trijstūrim) vai atrasties ārpus trijstūra (platleņķa trijstūrim). Visi trīs trijstūra augstumi krustojas vienā punktā, ko sauc par trijstūra ortocentru.

Formulas[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Jebkuram trijstūrim[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja trijstūra laukums ir S un vienas tā malas garums ir a, tad pret šo malu novilkta augstuma garums ir

 h_a = \frac{2S}{a}.

Ja a, b un c ir trijstūra malu garumi, tad pret šīm malām novilkto augstumu garumiem ir spēkā šādas attiecības:

 h_a : h_b : h_c = \frac{1}{a} : \frac{1}{b} : \frac{1}{c} = bc : ac : ab.

Vienādsānu trijstūrim[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja vienādsānu trijstūra pamata garums ir c, bet sānu malas garums ir a, tad no Pitagora teorēmas hc2 + (c/2)2 = a2 izriet, ka pret pamatu novilkta augstuma garums ir

 h_c = \frac{1}{2} \sqrt{4 a^2 - c^2}.

Regulāram trijstūrim[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ja trijstūris ir regulārs un visu tā malu garumi ir vienādi ar a, tad jebkura augstuma garums ir

 h = \frac{a \sqrt{3}}{2}.

Taisnleņķa trijstūrim[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Taisnleņķa trijstūrī augstums h, kas novilkts no taisnā leņķa virsotnes pret hipotenūzu c, sadala trijstūri divos tam līdzīgos trijstūros. Ja šis augstums hipotenūzu sadala nogriežņos garumā n un m (kur nogrieznis n atrodas tuvāk malai a, bet m — tuvāk malai b), tad c/a = a/n un c/b = b/m. Šīs attiecības var pārrakstīt arī kā a2 = cn un b2 = cm. Ievietojot tās Pitagora teorēmā a2 + b2 = (n + m)2, iegūst

 h^2 = nm. \,

Tā kā taisnleņķa trijstūra laukumu var aprēķināt gan kā S = hc/2, gan kā S = ab/2, tad

 h = ab/c. \,

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ārējās saites[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Eric W. Weisstein, Altitude, MathWorld.