Pāriet uz saturu

Viviani teorēma

Vikipēdijas lapa
Viviani teorēma- vienādmalu trijstūrī mazo augstumu summa būs vienāda ar lielā trijstūra augstumu

Viviani teorēma ir sakarība vienādmalu trijstūrī starp patvaļīgu punktu un trijstūra malu augstumiem pret šo punktu. Tā apgalvo, ka jebkur iekšā trijstūrī novietojot punktu , mazo trijstūru augstumu summa būs vienāda ar lielā trijstūra augstumu .

Pierādījums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Teorēmu var pierādīt izmantojot faktu, ka pie jebkura punkta lielā trijstūra laukums nemainās un pielīdzinot divas lielā laukuma formulas.

Trijustūris sastāv no virsotnēm un malas garums ir . Atliekot punktu un savienojot to ar virsotnēm, rodas jauni trijstūri . Šiem jaunajiem trijstūriem var novilkt augstumus .

Lielajam trijstūrim laukumu var izteikt ar pamatu un augstumu: , kur - trijstūra pamats, - trijstūra augstums, savukārt to pašu laukumu var pierakstīt kā mazo trijstūru summu: . Pielīdzinot izteiksmes: , jeb noīsinot: .

Teorēmas paplašinājums[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Viviani teorēmas paplašinājums - regulārā daudzstūrī patvaļīgam punktam attālumu summa būs vienāda ar n reiz apotēma

Teorēmas apgrieztais apgalvojums arī ir patiess: ja trijstūrī mazo augstumu summa ir neatkarīga no punkta , tad trijstūris ir vienādmalu.[1]

Paralelogramā šī īpašība arī izpildās- jebkurā punktā iekšā paralelogramā attālumu summa starp punktu un paralelograma malām būs konstanta. Bez šī arī apgrieztais apgalvojums ir patiess: ja četrstūrī attālumu summa starp punktu un paralelograma malām ir konstanta, četrstūris ir paralelogramms.[1]

Regulārā daudzstūrī šī īpašība arī izpildās- attālumu summa no punkta līdz visām malām būs neatkarīga no atrašanās vietas un skaitliski vienāda ar n reiz apotēma , kur n ir stūru skaits un apotēma ir ievilktā riņķa rādiuss.[1]

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. 1,0 1,1 1,2 Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). "The Converse of Viviani's Theorem". The College Mathematics Journal 37 (5): 390–391. doi:10.2307/27646392. ISSN 0746-8342.