Paralelograms

Vikipēdijas raksts
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt
Paralelograms ABCD

Paralelograms ir četrstūris, kuram pretējās malas ir pa pāriem paralēlas (vārds "paralelograms" ir cēlies no grieķu "παραλληλ-όγραμμον" jeb "paralēlas taisnes").

Īpašības[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Paralelogramam piemīt šādas īpašības:

  • pretējās malas ir paralēlas un vienāda garuma;
  • pretējie leņķi ir vienādi un jebkuru divu secīgu leņķu summa ir 180°;
  • paralelograma diagonāļu krustpunkts sadala katru no diagonālēm divās daļās ar vienādu garumu;
  • paralelograma smaguma centrs atrodas tā diagonāļu krustpunktā (jebkura taisne, kas iet caur paralelograma diagonāļu krustpunktu, sadala paralelogramu divās daļās ar vienādu laukumu);
  • visu četru malu garumu kvadrātu summa ir vienāda ar diagonāļu garumu kvadrātu summu (paralelograma likums).

Laukuma aprēķināšana[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Paralelograma laukumu S var aprēķināt pēc šādām formulām:

  • Ja B ir paralelograma pamata garums un H ir paralelograma augstums, tad
 S = B \cdot H. \,
  • Ja divas secīgas paralelograma malas veido leņķi θ un to garumi ir B un C, tad
 S = B \cdot C \cdot \sin \theta, \,   kur sin θ ir leņķa θ sinuss.
  • Ja divu secīgu paralelograma malu garumi ir B un C (BC) un tā diagonāles veido leņķi γ, tad
 S = \frac{|\operatorname{tg} \gamma|}{2} \cdot \left| B^2 - C^2 \right|,   kur |tg γ| ir leņķa γ tangensa absolūtā vērtība.

Izmantojot virsotņu koordinātas[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Ja vektori \vec{a} = (a_1, a_2) un \vec{b} = (b_1, b_2) atbilst divām secīgām paralelograma malām un
 M = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{pmatrix}
ir 2×2 matrica, kas satur vektoru \vec{a} un \vec{b} komponentes, tad atbilstošā paralelograma laukumu var izteikt ar šo vektoru pseidoskalāro reizinājumu jeb matricas M determinantu:
 S = |\vec{a} \circ \vec{b}| = |\det(M)| = |a_1 b_2 - a_2 b_1|. \,
  • Ja vektori \vec{a} \in \R^n un \vec{b} \in \R^n atrodas n dimensiju telpā un

  M = \begin{pmatrix}
        a_1 & a_2 & \dots & a_n \\
        b_1 & b_2 & \dots & b_n
      \end{pmatrix}
ir 2×n matrica, kas satur vektoru \vec{a} un \vec{b} komponentes, tad atbilstošā paralelograma laukums ir vienāds ar
 S = \sqrt{\det(M M^\mathrm{T})},
kur MT ir matricas M transponētā matrica.
  • Ja \vec{a} = (a_1, a_2), \vec{b} = (b_1, b_2) un \vec{c} = (c_1, c_2) ir trīs paralelograma virsotņu koordinātas, tad tā laukumu var izteikt ar determinantu no 3×3 matricas, kuras pirmās divas kolonnas satur doto vektoru x un y koordinātas, bet visi pēdējās kolonnas elementi ir vienādi ar 1:

  S = \left| \det
      \begin{pmatrix}
        a_1 & a_2 & 1 \\
        b_1 & b_2 & 1 \\
        c_1 & c_2 & 1
      \end{pmatrix}
      \right|.

Īpašie gadījumi[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Rombs — paralelograms, kam visas malas ir vienāda garuma;
  • Taisnstūris — paralelograms, kam visi leņķi ir vienādi;
  • Kvadrāts — četrstūris, kas vienlaikus ir gan rombs, gan taisnstūris (tā visi leņķi ir vienādi un tāpat arī visas malas).

Skatīt arī[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]

Ārējās saites[izmainīt šo sadaļu | labot pirmkodu]