Dzimis muižnieka ģimenē. Bērnību pavadīja Kalugas guberņas Ņemcovā (mūsdienās Radiščeva, Kalugas apgabalā), vēlāk dzīvoja Maskavā. 1762. gadā sāka mācības Pāžu korpusāSanktpēterburgā. Pēc četriem gadiem Radiščevs bija 12 cilvēku vidū, kuri tika nosūtīti papildināt izglītību uz Leipcigas Universitāti, kur iepazinās ar tā laika aktuālajām idejām. Atgrizies Krievijā, strādāja valsts pārvaldē, 1790. gadā kļuva par Sanktpēterburgas muitas vadītāju.
1790. gadā viņš anonīmi publicēja darbu "Ceļojums no Sanktpēterburgas uz Maskavu". Latviešu tulkojums iznāca 1950. gadā (atkārtoti 1978. gadā, tulkojis Oto Brikšķis). Darbā tika pausta Krievijas sabiedriskās iekārtas kritika, cariene Katrīna Lielā Radiščevu nosauca par "dumpinieku, sliktāku par Pugačovu". Radiščevs tika notiesāts uz nāvi, kuru nomainīja pret izsūtījumu uz Iļimsku (mūsdienās Irkutskas apgabalā). Kad 1796. gadā par caru kļuva Pāvils I, Radičevam tika ļauts atgriezties no izsūtījuma. Aleksandra I laikā tika iekļauts likumu izstrādāšanas komisijā. Izdarījis pašnāvību, iedzerot indi.