Dinamika (mehānika)

Dinamikā pēta spēkus un ķermeņu mijiedarbību, kas izraisa kustību

Dinamika (no sengrieķu δύναμις — ‘spēks’) ir mehānikas nozare, kas pēta ķermeņu kustību un savstarpējo mijiedarbību atkarībā no spēku iedarbības. Ķermeņu kustību, neņemot vērā spēkus, kas uz tiem iedarbojas, pēta kinemātikā. Klasiskās mehānikas dinamika balstās uz trim Ņūtona likumiem, visi pārējie tās likumi tiek iegūti pēc Ņūtona likumiem un priekšstata par telpas un laika homogenitāti un telpas izotropiju.

Ķermeņa kustības raksturošanu, zinot, kādi spēki iedarbojas uz ķermeni, sauc par dinamikas galveno (tiešo, pirmo, pamata) uzdevumu. Spēku, kas darbojas uz ķermeni, noteikšanu, zinot ķermeņa kustību, sauc par apgriezto (otro) dinamikas uzdevumu.

Atkarībā no ķermeņiem un procesiem, kam tiek pievērsta uzmanība, dinamiku var iedalīt hidrodinamikā, elektrodinamikā, aerodinamikā, termodinamika un tā tālāk.

Ņūtona likumi

Pamatraksts: Ņūtona likumi

Pirmais Ņūtona jeb inerces likums nosaka, ka ķermenis atrodas miera stāvoklī vai vienmērīgā taisnvirziena kustībā, ja uz to nedarbojas citi ķermeņi vai arī to iedarbības savstarpēji kompensējas. Ne visās atskaites sistēmās šis likums ir spēkā. Atskaites sistēmas, kurās Pirmais Ņūtona likums ir pareizs, sauc par inerciālām atskaites sistēmām, visas pārējās — par neinerciālām. Inerciālas atskaites sistēmas ir ķermeņi, kurus neietekmē citu ķermeņu iedarbība, kas varētu izraisīt paātrinājumu.

Otrais Ņūtona likums jeb materiāla punkta kustības dinamikas pamatlikums: inerciālā atskaites sistēmā ķermeņa paātrinājums ${\vec {a}}$ ir tieši proporcionāls spēkam ${\vec {F}}$, kas darbojas uz ķermeni, apgriezti proporcionāls ķermeņa masai $m$ un vērsts spēka darbības virzienā:

${\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}$.

Trešais Ņūtona jeb darbības un pretdarbības likums: divu ķermeņu mijiedarbības spēkiem ir vienādi moduļi un pretēji vērsumi:

$F_{12}=-F_{21}$,

kur $F_{12}$ ir spēks, ar kuru ķermenis 2 darbojas uz ķermeni 1, un $F_{21}$ ir spēks, ar kuru ķermenis 1 darbojas uz ķermeni 2.

Mehāniska sistēma

Mehāniska sistēma ir materiālu punktu kopa, kurā notiek mehāniska mijiedarbība. Šādā izraudzītā sistēmā ietvertie materiālie punkti var veidot vienu vai vairākus atsevišķus fizikālus ķermeņus. Spēkus, kas darbojas starp sistēmā esošajiem materiālajiem punktiem, sauc par iekšējiem spēkiem ${\vec {f}}$, bet spēkus, ar kuriem uz sistēmā ietilpstošajiem materiālajiem punktiem iedarbojas citi ķermeņi vai punkti, sauc par ārējiem spēkiem ${\vec {F}}$. Ja uz sistēmu nedarbojas ārēki spēki, to sauc par noslēgtu sistēmu.

Ja sistēmā darbojas tikai konservatīvie spēki, to sauc par konservatīvu sistēmu un tās pilnā mehāniskā enerģija $W$ ir nemainīga:

$W=W_{p}+W_{k}=const$,

kur $W_{p}$ ir potenciālā enerģija, $W_{k}$ ir kinētiskā enerģija.

Ja sistēmā darbojas arī disipatīvie (nekonservatīvie) spēki, to sauc par disipatīvu sistēmu un tās pilnā mehāniskā enerģija samazinās (enerģijas disipācija). Visas reālas mehāniskās sistēmas ir disipatīvas (tajās darbojas, piemēram, berzes spēki), taču, ja disipatīvie spēki ir mazi, tos var neievērot un lietot enerģijas nezūdamības likumu kā šai mehāniskajai sistēmai pilnībā atbilstošu.

Lai raksturotu mehānisku sistēmu, parasti izmanto masas (inerces) centra jēdzienu. Masas centrs $C$ ir punkts, kura stāvokli koordinātu sistēmā nosaka no atsevišķo punktu masām $m_{i}$ un to rādiusvektoriem ${\vec {r_{i}}}$ atkarīgs rādiusvektors ${\vec {r_{C}}}$:

${\vec {r_{C}}}={\frac {1}{m}}\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {r_{i}}}$,

kur $m$ ir sistēmas kopējā masa, $N$ — materiālu punktu skaits.

Par smaguma centru sauc punktu, kurā pielikts sistēmas smaguma spēks, kas ir visu sistēmas sastāvdaļu smaguma spēku kopspēks. Viendabīgā smaguma spēku laukā smaguma centrs sakrīt ar masas centru. Masas centrs sistēmai piemīt vienmēr atšķirībā no smaguma centra, kura var arī nebūt.

Mehāniskai sistēmai piemīt impulss ${\vec {p}}$, kurš vienāds ar sistēmas visu materiālo punktu impulsu vektoriālo summu:

${\vec {p}}=\sum _{i=1}^{N}m_{i}{\vec {v_{i}}}$.

Tāpat sistēmas impulss vienāds ar sistēmas masas un sistēmas masas centra kustības ātruma reizinājumu:

${\vec {p}}=m{\vec {v_{C}}}$.

Pēc Otrā Ņūtona likuma un ņemot vērā Trešo Ņūtona likumu, sistēmai atbilst vienādojums

${\frac {\operatorname {d} \!{\vec {p}}}{\operatorname {d} \!t}}={\vec {F}}$,

no kura redzams, ka sistēmas impulsu var izmainīt tikai ārēji spēki. Saskaņā ar impulsa nezūdamības likumu noslēgtas sistēmas impulss ir nemainīgs. Savukārt, pēc impulsa projekcijas nezūdamības likuma, ja ārējā kopspēka projekcija kādā virzienā ir vienāda ar nulli, tad sistēmas impulsa projekcija šajā virzienā ir konstanta.

Tāpat, pēc Otrā Ņūtona likuma,

${\vec {a_{C}}}={\frac {\vec {F}}{m}}$,

kur ${\vec {a_{C}}}$ ir sistēmas masas centra paātrinājums.

Tādējādi mehāniskas sistēmas masas centrs kustas kā materiāls punkts, kura masa ir vienāda ar sistēmas masu un uz kuru darbojas ar sistēmai pielikto kopspēku vienāds spēks. Ja sistēma ir absolūti ciets ķermenis, kas atrodas virzes jeb translācijas kustībā, tad visiem sistēmas materiālajiem punktiem ir vienāds paātrinājums.

Iespējams, ka sistēmas masa kustības laikā ir mainīga. Laika momentā $\operatorname {d} \!t$ ķermenim pievienojas vai no tā ātdalās daļiņas ar kopējo masu $\operatorname {d} \!m$ un ātrumu ${\vec {v_{1}}}$. Šādu kustību raksturo mainīgas masas ķermeņa kustības dinamikas pamatvienādojums

${\frac {m\operatorname {d} \!{\vec {v}}}{\operatorname {d} \!t}}={\vec {F}}+{\frac {{\vec {u}}\operatorname {d} \!m}{\operatorname {d} \!t}}$,

kur ${\vec {u}}={\vec {v_{1}}}-{\vec {v}}$ ir daļiņu relatīvais ātrums attiecībā pret ķermeni, bet ${\frac {{\vec {u}}\operatorname {d} \!m}{\operatorname {d} \!t}}$ ir reaktīvais spēks.

Pēc tā iegūstams Ciolkovska vienādojums, pēc kura var aprēķināt raķetes attīstīto ātrumu, neņemot vērā Zemes pievilkšanas spēku un gaisa pretestību,

$v=u\ln \left({\frac {m_{0}}{m}}\right)$,

kur $m_{0}$ ir raķetes palaišanas masa, $m$ ir raķetes atlikusī masa.

Absolūti cieta ķermeņa dinamika

Absolūti cieta ķermeņa kustības pamatveidi ir translācija jeb virzes kustība un rotācija jeb griezes kustība. Virzes kustībā visiem ķermeņa punktiem ir vienāds pārvietojums, ātrums, paātrinājums, tāpēc cieta ķermeņa translācijas dinamiku var reducēt uz materiāla punkta dinamiku. (Par materiāla punkta kustību skatīt: Kinemātika.)

Virzes (translācijas) un griešanās (rotācijas) raksturlielumu līdzības

Virze	Griešanās
noietais ceļš $l$	pagrieziena leņķis $\varphi$
lineārais ātrums ${\vec {v}}$	leņķiskais ātrums ${\vec {\omega }}$
lineārais tangenciālais paātrinājums ${\vec {a_{\tau }}}$	leņķiskais paātrinājums ${\vec {\varepsilon }}$
masa $m$	inerces moments $I$
spēks ${\vec {F}}$	spēka moments ${\vec {M}}$
vienmērīga kustība: $a_{\tau }=0$, $l=vt$	vienmērīga kustība: $\varepsilon =0$, $\varphi =\omega t$
vienmērīgi mainīga kustība: $a_{\tau }=const$, $v=a_{\tau }t$, $l=v_{0}t+{\frac {a_{\tau }t^{2}}{2}}$	vienmērīgi mainīga kustība: $\varepsilon =const$, $\omega =\varepsilon t$, $l=\omega _{0}t+{\frac {\varepsilon t^{2}}{2}}$
impulss ${\vec {p}}$	impulsa moments ${\vec {L}}$
kinētiskā enerģija $W_{k}={\frac {mv^{2}}{2}}$	kinētiskā enerģija $W_{k}={\frac {I\omega ^{2}}{2}}$
darbs $A=F_{l}l$	darbs $A=M\varphi$
jauda $P={\vec {F}}{\vec {v}}$	jauda $P={\vec {M}}{\vec {\omega }}$
dinamikas pamatlikums ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ vai ${\vec {F}}={\frac {\operatorname {d} \!{\vec {p}}}{\operatorname {d} \!t}}$	dinamikas pamatlikums ${\vec {M}}=I{\vec {\varepsilon }}$ vai ${\vec {M}}={\frac {\operatorname {d} \!{\vec {L}}}{\operatorname {d} \!t}}$