Gausa izslēgšanas metode

Gausa izslēgšanas metode (vienādojumu saskaitīšanas metode) ir algoritms lineāru vienādojumu sistēmas atrisināšanai. Parasti tiek veikta operāciju virkne ar attiecīgās vienādojumu sistēmas koeficientu matricu. Ar šo metodi var arī atrast matricas rangu, izrēķināt matricas determinantu. Metode ir nosaukta vācu matemātiķa Kārļa Frīdriha Gausa vārdā, tomēr tā ir bijusi pazīstama ķīniešu matemātiķiem jau mūsu ēras 179. gadā.

Lai pielietotu Gausa izslēgšanas metodi, ar matricu ir jāveic dažādi elementāri pārveidojumi, lai iegūtu augšējo trijstūrveida matricu (zem galvenās diagonāles visi elementi ir nulles). Eksistē trīs veida pārveidojumi: 1) matricas divu rindu apmainīšana vietām; 2) matricas rindas locekļu reizināšana ar kādu no nulles atšķirīgu skaitli; 3) matricas rindas reizināšana ar kādu no nulles atšķirīgu skaitli un pieskaitīšana citai rindai.

Algoritma piemērs

Jāatrod šādas lineāru vienādojumu sistēmas atrisinājums:

${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\qquad (L_{1})\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\qquad (L_{2})\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\qquad (L_{3})\end{alignedat}}$

Vienādojumu sistēma	Rindu operācijas	Atbilstošā matrica
${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+\;&&y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&8&\\-3x&&\;-\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-11&\\-2x&&\;+\;&&y&&\;+\;&&2z&&\;=\;&&-3&\end{alignedat}}$		$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\-3&-1&2&-11\\-2&1&2&-3\end{array}}\right]$
${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y&&\;-&&\;z&&\;=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y&&\;+&&\;{\frac {1}{2}}z&&\;=\;&&1&\\&&&&2y&&\;+&&\;z&&\;=\;&&5&\end{alignedat}}$	$L_{2}+{\frac {3}{2}}L_{1}\rightarrow L_{2}$ $L_{3}+L_{1}\rightarrow L_{3}$	$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&2&1&5\end{array}}\right]$
${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&-&&\;z\;&&=\;&&8&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&+&&\;{\frac {1}{2}}z\;&&=\;&&1&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	$L_{3}+-4L_{2}\rightarrow L_{3}$	$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&-1&8\\0&1/2&1/2&1\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
Pašlaik matrica ir trijstūrveida
${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&{\frac {1}{2}}y\;&&&&\;\;&&=\;&&3/2&\\&&&&&&&&\;-z\;&&\;=\;&&1&\end{alignedat}}$	$L_{2}+{\frac {1}{2}}L_{3}\rightarrow L_{2}$ $L_{1}-L_{3}\rightarrow L_{1}$	$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1/2&0&3/2\\0&0&-1&1\end{array}}\right]$
${\begin{alignedat}{7}2x&&\;+&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&7&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	$2L_{2}\rightarrow L_{2}$ $-L_{3}\rightarrow L_{3}$	$\left[{\begin{array}{ccc|c}2&1&0&7\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$
${\begin{alignedat}{7}x&&\;&&\;&&&&\;\;&&=\;&&2&\\&&&&y\;&&&&\;\;&&=\;&&3&\\&&&&&&&&\;z\;&&\;=\;&&-1&\end{alignedat}}$	$L_{1}-L_{2}\rightarrow L_{1}$ ${\frac {1}{2}}L_{1}\rightarrow L_{1}$	$\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&2\\0&1&0&3\\0&0&1&-1\end{array}}\right]$

Otrajā kolonnā ir uzrādītas operācijas, kas ir tikko veiktas.

Ārējās saites

• Lineāru vienādojumu sistēmas risināšanas programmatūra (angliski)
• Lineāru vienādojumu sistēmas risināšana ar Gausa izslēgšanas matodi (angliski)
• Gausa izslēgšanas metode (angliski)
• WildLinAlg13: Solving a system of linear equations YouTube