Gella-Manna matricas

Vikipēdijas lapa
Pārlēkt uz: navigācija, meklēt

Gella-Manna matricas ir Pauli matricu vispārinājums 3 × 3 matricām. Tās ir nosauktas par godu amerikāņu fiziķim Marijam Gellam-Mannam, kurš tās izmantoja, lai aprakstītu stiprajai mijiedarbībai piemītošo simetriju.[1] Tās tiek izmantotas, lai aprakstītu kvarku modeli.[2] Mazāk tās tiek izmantotas kvantu hromodinamikā. Kvantu skaitļošanā tās tiek lietotas, lai aprakstītu kutritu jeb trīs līmeņu kvantu sistēmu.

Gella-Manna matricas ir šādas:

Pirmajā, otrajā un trešajā kolonnā esošās matricas atgādina attiecīgi Pauli X, Y un Z matricas.

Īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Algebriskās īpašības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Gella-Manna matricu algebriskās īpašības ir uzskaitītas zemāk dotajā tabulā.

Īpašība Matemātiskais pieraksts
Ermita
nulles pēda

Atšķirība no Pauli matricām, Gella-Manna matricas nav unitāras.

Bāze[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Gella-Manna matricas veido maksimālu lineāri neatkarīgu (gan pār reālajiem, gan kompleksajiem skaitļiem) 3 × 3 Ermita matricu kopu jeb bāzi. Tas nozīmē, ka

  • jebkuru 3 × 3 Ermita matricu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju ar reāliem koeficientiem no Gella-Manna matricām;
  • jebkuru 3 × 3 kompleksu matricu var viennozīmīgi izteikt kā lineāru kombināciju ar kompleksiem koeficientiem no Gella-Manna matricām.

Gella-Manna matricu veidotā bāze ir ortogonāla attiecībā pret Hilberta-Šmita skalāro reizinājumu :

kur "Tr" apzīmē matricas pēdu (diagonāles elementu summu) un ir Kronekera delta. Koeficients 1/√3 matricas λ8 priekšā ir izvēlēts tā, lai izpildītos šī sakarība. Ja katru no Gella-Manna matricām izdala ar √2, tad iegūtās matricas veido ortonormētu bāzi.

Komutāciju sakarības[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

j k l djkl
1 1 8
1 4 6
1 5 7
2 2 8
2 4 7
2 5 6
3 3 8
3 4 4
3 5 5
3 6 6
3 7 7
4 4 8
5 5 8
6 6 8
7 7 8
8 8 8
j k l fjkl
1 2 3
1 4 7
1 5 6
2 4 6
2 5 7
3 4 5
3 6 7
4 5 8
6 7 8

Divu Gella-Manna matricu komutatoruj, λk] = λjλk − λkλj var izteikt kā lineāru kombināciju no Gella-Manna matricām:

kur koeficienti fjkl ir pilnīgi antisimetriski (fjkl = −fkjl utt.). Nenulles koeficientu vērtības ir dotas tabulā. Piemēram, f132 = −f123 = −1.

Līdzīga sakarība ir spēkā arī Gella-Manna matricu antikomutatoram:

kur ir Kronekera delta, I ir 3 × 3 vienības matrica un koeficienti djkl ir pilnīgi simetriski (djkl = dkjl utt.). Nenulles koeficientu vērtības ir dotas tabulā. Piemēram, d427 = d247 = −1/2.

Skatīt arī[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

Papildu literatūra[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  • Pfeifer, Walter (2003), The Lie algebras su(N), an introduction (2nd izd.), Birkhäuser, ISBN 9783764324186, 4.1 The generators of the su(3)-algebra, 49. lpp..
  • Georgi, Howard (1999), Lie algebras in particle physics (2nd izd.), Da Capo Press, ISBN 9780738202334, 7.1 The Gell-Mann matrices, 98. lpp.
  • Greiner, Walter; Müller, Berndt (1994), Quantum mechanics: symmetries (2nd izd.), Springer, ISBN 9783540580805, 7. The SU(3) Symmetry, 195. lpp.
  • Kokkedee, J.J.J. (1969), Quark Model, Addison-Wesley Longman, Incorporated, ISBN 9780805356113.

Atsauces[labot šo sadaļu | labot pirmkodu]

  1. Murray, Gell-Mann (March 15, 1961), The Eightfold Way: A Theory of Strong Interaction Symmetry, doi:10.2172/4008239.
  2. Greiner et al., 8. Quarks and SU(3), 231. lpp.