Dzimis Varšavā, jurista ģimenē. No 1913. gada studēja Glāzgovas Universitātē. Pēc Pirmā pasaules kara, kad atjaunojās Polijas valsts, pārcēlās studēt uz Varšavas Universitāti, kur ieguva doktora grādu 1921. gadā. No 1927. līdz 1933. gadam Kuratovskis bija Ļvivas Universitātes matemātikas katedras vadītājs un deva būtisku ieguldījumu t.s. Ļvivas matemātikas skolas (Stefans Banahs, Staņislavs Ulams u.c.) izveidē. Kopš 1935. gada - Vaŗšavas universitātes matemātikas katedras vadītājs.
Otrā pasaules kara laikā darbojās Varšavā pagrīdes universitātē. 1945. gada februārī atsāka pasniegt atjaunotajā Varšavas universitātē. No 1952. gada - Polijas Zinātņu akadēmijas biedrs, no 1957. līdz 1968. gadam - tās viceprezidents.